23. Найди длину боковой стороны CD трапеции ABCD, если углы BCD и АВС равны 135° и 120° соответственно, а АВ = 16√6.

Для решения задачи необходимо построить чертёж трапеции ABCD, где углы BCD = 135° и ABC = 120°, а AB = 16√6. Опустим высоты BM и CN на основание AD. Рассмотрим получившиеся прямоугольные треугольники ABM и DCN.

Угол ABM = 180° - 90° - 60° = 30° (т.к. угол ABC = 120°, а угол MBA = 30°).

В прямоугольном треугольнике ABM против угла 30° лежит катет AM, который равен половине гипотенузы AB:

AM = AB / 2 = (16√6) / 2 = 8√6.

BM = AB ⋅ sin(60°) = 16√6 ⋅ (√3 / 2) = 8√6 ⋅ √3 = 8√18 = 8 ⋅ 3√2 = 24√2.

Угол DCN = 180° - 90° - 45° = 45° (т.к. угол BCD = 135°, угол DCN = 45°).

Значит, треугольник DCN – равнобедренный прямоугольный, и CN = DN.

Поскольку BM = CN (высоты трапеции), то DN = 24√2.

Тогда, CD = DN / sin(45°) = (24√2) / (√2 / 2) = (24√2) ⋅ (2 / √2) = 48.

Ответ: 48