Найди, через какое время распадается 40% ядер радиоактивного изотопа Sc (Ответ округли до целых.)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулу для количества ядер, оставшихся после распада:

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

• Шаг 2: Выразим отношение оставшихся ядер к начальному количеству:

\[ \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t} \]

• Шаг 3: Учитывая, что распалось 40% ядер, осталось 60%, то есть 0.6 от начального количества:

\[ \frac{N(t)}{N_0} = 0.6 \]

• Шаг 4: Подставим это значение в формулу:

\[ 0.6 = e^{-\lambda t} \]

• Шаг 5: Прологарифмируем обе части уравнения, чтобы избавиться от экспоненты:

\[ \ln(0.6) = -\lambda t \]

• Шаг 6: Выразим время t:

\[ t = \frac{-\ln(0.6)}{\lambda} \]

• Шаг 7: Вспомним, что период полураспада T связан с постоянной распада \(\lambda\) следующим образом:

\[ T = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]

• Шаг 8: Выразим \(\lambda\) через период полураспада:

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T} \]

• Шаг 9: Подставим это значение в формулу для времени t:

\[ t = \frac{-\ln(0.6)}{\frac{\ln(2)}{T}} = -\frac{\ln(0.6)}{\ln(2)} T \]

• Шаг 10: Учитывая, что период полураспада T = 84 сут, подставим это значение в формулу:

\[ t = -\frac{\ln(0.6)}{\ln(2)} \cdot 84 \]

• Шаг 11: Вычислим значение времени:

\[ t \approx -\frac{-0.5108}{0.6931} \cdot 84 \approx 0.737 \cdot 84 \approx 61.9 \]

• Шаг 12: Округлим полученное значение до целых:

\[ t \approx 62 \]

Ответ: 62