Настя загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 13, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Настя, если известно, что загаданное число больше 120, но меньше 150?

Решение:

Обозначим загаданное Настей число как \( N \).

Согласно условию, при делении \( N \) на 13, остаток будет в 2 раза меньше, чем частное. Пусть \( q \) — частное, а \( r \) — остаток. Тогда:

\( N = 13q + r \)

Также по условию:

\( r = \frac{q}{2} \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( N = 13q + \frac{q}{2} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( N = \frac{26q + q}{2} = \frac{27q}{2} \)

Из этого уравнения следует, что \( q \) должно быть чётным числом, чтобы \( N \) было целым числом. Также, по свойству деления, остаток \( r \) должен быть меньше делителя (13), то есть:

\( r < 13 \)

Так как \( r = \frac{q}{2} \), то:

\( \frac{q}{2} < 13 \)

\( q < 26 \)

Учитывая, что \( q \) должно быть чётным, возможные значения \( q \) (меньшие 26) — это 2, 4, 6, ..., 24.

Теперь подставим возможные значения \( q \) в формулу \( N = \frac{27q}{2} \) и проверим условие, что \( 120 < N < 150 \).

• Если \( q = 2 \), то \( r = 1 \), \( N = 13 \times 2 + 1 = 27 \). (Не подходит, так как \( N < 120 \))
• Если \( q = 4 \), то \( r = 2 \), \( N = 13 \times 4 + 2 = 54 \). (Не подходит)
• ...
• Если \( q = 10 \), то \( r = 5 \), \( N = 13 \times 10 + 5 = 135 \). (Подходит, так как \( 120 < 135 < 150 \))
• Если \( q = 12 \), то \( r = 6 \), \( N = 13 \times 12 + 6 = 156 + 6 = 162 \). (Не подходит, так как \( N > 150 \))

Проверим полученное число \( N = 135 \):

135 разделить на 13:

\( 135 = 13 \times 10 + 5 \)

Здесь частное \( q = 10 \), а остаток \( r = 5 \).

Условие \( r = \frac{q}{2} \) выполняется, так как \( 5 = \frac{10}{2} \).

Условие \( 120 < N < 150 \) также выполняется, так как \( 120 < 135 < 150 \).

Ответ: 135.