В данном случае нужно поставить глагол 'become' в правильную грамматическую форму. Так как речь идет о Лили (она, 3-е лицо единственного числа) и действие происходит в настоящем времени, используется форма Present Simple.
Lily became a famous actress.
Лили стала известной актрисой.