1 Написать уравнение a) f(x) = x³-2x ; x₀=2 б) f(x) = ln x ; x₀=e 2. Построить график a) f(x)= -x³+3x²-2 б) f(x) = x+ 9/x на отрезке [½;9]

а) f(x) = x³ - 2x; x₀ = 2

• Шаг 1: Находим значение функции в точке x₀. \[f(2) = 2³ - 2 \cdot 2 = 8 - 4 = 4\]
• Шаг 2: Находим производную функции. \[f'(x) = 3x² - 2\]
• Шаг 3: Находим значение производной в точке x₀. \[f'(2) = 3 \cdot 2² - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10\]
• Шаг 4: Подставляем значения в уравнение касательной. \[y = 4 + 10(x - 2)\] \[y = 4 + 10x - 20\] \[y = 10x - 16\]

Уравнение касательной: y = 10x - 16

б) f(x) = ln x; x₀ = e

• Шаг 1: Находим значение функции в точке x₀. \[f(e) = \ln e = 1\]
• Шаг 2: Находим производную функции. \[f'(x) = \frac{1}{x}\]
• Шаг 3: Находим значение производной в точке x₀. \[f'(e) = \frac{1}{e}\]
• Шаг 4: Подставляем значения в уравнение касательной. \[y = 1 + \frac{1}{e}(x - e)\] \[y = 1 + \frac{x}{e} - 1\] \[y = \frac{x}{e}\]

Уравнение касательной: y = x/e

а) f(x) = -x³ + 3x² - 2

Для построения графика функции необходимо провести анализ функции, найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба и асимптоты.

• Шаг 1: Находим производную функции. \[f'(x) = -3x² + 6x\]
• Шаг 2: Находим критические точки (где f'(x) = 0). \[-3x² + 6x = 0\] \[-3x(x - 2) = 0\] \[x = 0, x = 2\]
• Шаг 3: Находим вторую производную функции. \[f''(x) = -6x + 6\]
• Шаг 4: Находим точки перегиба (где f''(x) = 0). \[-6x + 6 = 0\] \[x = 1\]

б) f(x) = x + 9/x на отрезке [½; 9]

Для построения графика функции необходимо провести анализ функции, найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба и асимптоты.

• Шаг 1: Находим производную функции. \[f'(x) = 1 - \frac{9}{x²}\]
• Шаг 2: Находим критические точки (где f'(x) = 0). \[1 - \frac{9}{x²} = 0\] \[x² = 9\] \[x = -3, x = 3\]

  Т.к. рассматриваем отрезок [½; 9], то x = -3 не входит в этот отрезок.