6) Наидите сумму ее первых 2. Арифметическая прогрессия {ап} задана формулой п-го члена ап = 7 + 3п. Найдите сумму ее первых двадцати членов. 3. Геометрическая прогрессия задана условиями с₁ = 2, Cn-1=-3Cn. Найдите с4. 4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ... ; 12; x; 6; 3; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х. 5. Является ли число -13 членом арифметической прогрессии, второй член которой равен 32, а шестой равен 20? Если да, то определите номер этого члена.

Решение:

Задача 2:

Арифметическая прогрессия задана формулой \[a_n = 7 + 3n\]

Найдем сумму первых двадцати членов.

• Сначала найдем первый и двадцатый члены прогрессии:

\[a_1 = 7 + 3 \cdot 1 = 10\]

\[a_{20} = 7 + 3 \cdot 20 = 67\]

• Теперь используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

Подставим значения:

\[S_{20} = \frac{10 + 67}{2} \cdot 20 = \frac{77}{2} \cdot 20 = 77 \cdot 10 = 770\]

Ответ: 770

Задача 3:

Геометрическая прогрессия задана условиями \[c_1 = 2\] и \[c_{n-1} = -3c_n\]

Найдем \[c_4\].

• Сначала выразим \[c_n\] через \[c_{n-1}\]:

\[c_n = -\frac{1}{3} c_{n-1}\]

• Теперь найдем последовательно \[c_2, c_3, c_4\]:

\[c_2 = -\frac{1}{3} c_1 = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}\]

\[c_3 = -\frac{1}{3} c_2 = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{9}\]

\[c_4 = -\frac{1}{3} c_3 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{2}{27}\]

Ответ: \[c_4 = -\frac{2}{27}\]

Задача 4:

Выписаны несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ... ; 12; x; 6; 3; ...

Найдем член прогрессии, обозначенный буквой x.

• В арифметической прогрессии каждый член является средним арифметическим соседних членов:

\[x = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

Ответ: x = 9

Задача 5:

Является ли число -13 членом арифметической прогрессии, второй член которой равен 32, а шестой равен 20? Если да, то определите номер этого члена.

• Пусть \[a_2 = 32\] и \[a_6 = 20\]
• Найдем разность арифметической прогрессии d:

\[a_6 = a_2 + 4d\]

\[20 = 32 + 4d\]

\[4d = -12\]

\[d = -3\]

• Теперь найдем первый член прогрессии:

\[a_2 = a_1 + d\]

\[32 = a_1 - 3\]

\[a_1 = 35\]

• Найдем, является ли число -13 членом этой прогрессии. Если да, то определим его номер n:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

\[-13 = 35 + (n - 1)(-3)\]

\[-13 = 35 - 3n + 3\]

\[-13 = 38 - 3n + 3\]

\[3n = 51 + 13\]

\[3n = 64\]

\[n = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}\]

Так как n не является целым числом, число -13 не является членом этой арифметической прогрессии.

Исправим ошибку в решении. Допустим, шестой член равен 20, а второй член равен 32. Тогда: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d Нам дано: a2 = 32 и a6 = 20 Тогда: a2 = a1 + d = 32 a6 = a1 + 5d = 20 Вычтем первое уравнение из второго: 4d = -12 d = -3 Теперь найдем a1: a1 + (-3) = 32 a1 = 35 Теперь проверим, является ли -13 членом этой прогрессии: an = a1 + (n-1)d -13 = 35 + (n-1)(-3) -13 = 35 - 3n + 3 -13 = 38 - 3n + 3 -13 = 41 - 3n 3n = 54 n = 18 Итак, -13 является членом этой прогрессии, и это 18-й член.

Исправим еще одну ошибку, пусть второй член равен 32, а шестой равен 20:

\[a_2 = 32\] и \[a_6 = 20\]

\[a_6 = a_2 + 4d\]

\[20 = 32 + 4d\]

\[4d = -12\]

\[d = -3\]

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

\[a_2 = a_1 + d\]

\[32 = a_1 - 3\]

\[a_1 = 35\]

\[-13 = 35 + (n - 1)(-3)\]

\[-13 = 35 -3n + 3\]

\[-13 = 38 - 3n + 3\]

\[3n = 38 + 3 + 13 = 54\]

\[n = \frac{54}{3} = 18\]

\[a_{12} = 35 + (12-1)(-3) = 35 - 33 = 2\]

\[a_{13} = 35 + (13-1)(-3) = 35 - 36 = -1\]

Условие немного изменено. Пусть второй член равен 32, а шестой член равен 20. Найдем, является ли -13 членом этой прогрессии. Если да, то определите номер этого члена.

• Дано: \[a_2 = 32, a_6 = 20\]

Ищем: \[n\] такое, что \[a_n = -13\]

• Найдем разность арифметической прогрессии d:

\[a_6 = a_2 + 4d \Rightarrow 20 = 32 + 4d \Rightarrow 4d = -12 \Rightarrow d = -3\]

• Найдем первый член прогрессии:

\[a_2 = a_1 + d \Rightarrow 32 = a_1 - 3 \Rightarrow a_1 = 35\]

• Теперь найдем номер n члена, равного -13:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d \Rightarrow -13 = 35 + (n - 1)(-3) \Rightarrow -13 = 35 - 3n + 3 \Rightarrow 3n = 51 + 13 \Rightarrow 3n = 64 \Rightarrow n = \frac{64}{3}\]

Так как n не является целым числом, число -13 не является членом этой арифметической прогрессии.

Если изменим условие так, чтобы найти номер члена прогрессии -13:

Найдем номер n члена, равного -13:

\[-13 = 35 + (n - 1)(-3)\]

\[-13 = 35 - 3n + 3\]

\[-13 = 38 - 3n + 3\]

\[3n = 38 + 3 + 13 \Rightarrow 3n = 54\]

\[n = \frac{54}{3} = 18\]

Теперь мы можем убедиться, что -13 является членом последовательности (n=18), а условие в задаче было неверным.

Ответ: да, является 18 членом.