Нагреется ли в емкости вода, если её просто активно перемешивать?

Да, вода в емкости нагреется, если её активно перемешивать. При механической работе (перемешивании) совершается работа над водой, которая превращается во внутреннюю энергию воды, что приводит к повышению её температуры. Это пример превращения механической энергии в тепловую.