«Надежда энергетики», 2024, отбор, 6.1) В стране Роботилии прошёл первый конкурс красоты среди роботов. В финал вышли 4 робота. Жюри оценивало самых красивых (по их мнению) роботов цифрой 1, а остальных, которые понравились им меньше, — нулём. Никто из роботов-финалистов не остался без оценки. Известно, что никакие два члена жюри не применяли единички одному и тому же набору роботов. Каким могло быть наибольшее количество членов жюри?

Решение:

Обозначим четырёх финалистов роботов как R1, R2, R3, R4. Жюри выставляет оценки 1 (самый красивый) или 0 (менее красивый). Каждый член жюри оценивает роботов, что можно представить как набор оценок для каждого робота. Например, член жюри может дать оценку (1, 0, 0, 0), что означает, что он считает R1 самым красивым, а остальные — менее красивыми. Условие гласит, что никакие два члена жюри не применяли единички одному и тому же набору роботов. Это означает, что каждый член жюри должен выбрать уникальную комбинацию роботов, которым он присвоил оценку 1. Нам нужно найти наибольшее возможное количество таких уникальных комбинаций.

Каждый член жюри оценивает набор роботов. Оценка '1' присваивается самым красивым роботам, а '0' — остальным. Важно, что каждый член жюри не остался без оценки, то есть, каждый член жюри должен был оценить хотя бы одного робота как '1', иначе его оценка была бы (0, 0, 0, 0), что не является оценкой 'единичкой'.

Рассмотрим возможные наборы роботов, которым член жюри может присвоить оценку '1'.

• Случай 1: Один робот получает оценку '1'.
  Возможны следующие уникальные наборы: {R1}, {R2}, {R3}, {R4}. Это 4 различных оценки.
• Случай 2: Два робота получают оценку '1'.
  Возможные наборы: {R1, R2}, {R1, R3}, {R1, R4}, {R2, R3}, {R2, R4}, {R3, R4}. Это 6 различных оценок (количество сочетаний из 4 по 2: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6 \)).
• Случай 3: Три робота получают оценку '1'.
  Возможные наборы: {R1, R2, R3}, {R1, R2, R4}, {R1, R3, R4}, {R2, R3, R4}. Это 4 различных оценки (количество сочетаний из 4 по 3: \( C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4 \)).
• Случай 4: Четыре робота получают оценку '1'.
  Возможный набор: {R1, R2, R3, R4}. Это 1 оценка (количество сочетаний из 4 по 4: \( C(4, 4) = 1 \)).

Общее количество уникальных наборов, которые может присвоить член жюри (исключая случай, когда все получают 0), равно сумме всех этих возможностей:

\( 4 + 6 + 4 + 1 = 15 \)

Каждый из этих наборов представляет собой уникальную оценку, которую может дать член жюри. Так как никакие два члена жюри не могут присвоить единички одному и тому же набору роботов, то наибольшее количество членов жюри будет равно общему количеству возможных уникальных комбинаций оценок '1'.

Таким образом, наибольшее количество членов жюри может быть 15.

Ответ: 15.