Начертите этот прямоугольник. Найдите координаты вершины В. Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: \( A(-4; -2) \), \( C(2; 4) \) и \( D(2; -2) \).

1. Построение прямоугольника:

Отметим данные точки на координатной плоскости. Так как это прямоугольник, стороны параллельны осям координат. Сторона AD параллельна оси X, так как \( y_A = y_D = -2 \). Сторона CD параллельна оси Y, так как \( x_C = x_D = 2 \).

2. Нахождение координат вершины В:

У прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны. Координаты вершин A(-4; -2) и D(2; -2) имеют одинаковую y-координату, значит, отрезок AD параллелен оси X. Координаты вершин C(2; 4) и D(2; -2) имеют одинаковую x-координату, значит, отрезок CD параллелен оси Y.

Вершина B будет иметь x-координату, равную x-координате вершины A (-4), и y-координату, равную y-координате вершины C (4). Таким образом, координаты вершины B: \( B(-4; 4) \).

Проверим: AB параллельно CD (оба вертикальны, x=-4 и x=2), BC параллельно AD (оба горизонтальны, y=4 и y=-2).

3. Нахождение координат точки пересечения диагоналей:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC.

Координаты середины отрезка \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) находятся по формулам: \( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \), \( y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \).

Для диагонали AC: \( A(-4; -2) \) и \( C(2; 4) \).

\( x_m = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

\( y_m = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Координаты точки пересечения диагоналей: \( (-1; 1) \).

4. Вычисление площади и периметра прямоугольника:

Длина стороны AD = \( |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6 \) см.

Длина стороны CD = \( |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6 \) см.

Это квадрат, так как все стороны равны.

Площадь квадрата = сторона \( \times \) сторона.

Площадь = \( 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2 \).

Периметр квадрата = 4 \( \times \) сторона.

Периметр = \( 4 \times 6 \text{ см} = 24 \text{ см} \).

Ответ:

• 1) Прямоугольник построен на координатной плоскости.
• 2) Координаты вершины В: \( (-4; 4) \).
• 3) Координаты точки пересечения диагоналей: \( (-1; 1) \).
• 4) Площадь прямоугольника: \( 36 \text{ см}^2 \). Периметр прямоугольника: \( 24 \text{ см} \).