На заводе по производству деталей для посудомоечных машин 9% произведённых деталей имеют дефект. Система контроля качества выявляет 80% деталей с дефектом. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найди вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу. (Ответ округли до сотых.)

Решение:

Обозначим следующие события:

• D - деталь имеет дефект.
• N - деталь не имеет дефекта.
• K - деталь выявлена системой контроля как дефектная.
• NK - деталь не выявлена системой контроля как дефектная (попадает в продажу).

Дано:

• Вероятность того, что деталь имеет дефект: \( P(D) = 0.09 \)
• Вероятность того, что деталь не имеет дефекта: \( P(N) = 1 - P(D) = 1 - 0.09 = 0.91 \)
• Вероятность того, что деталь с дефектом будет выявлена (ложноположительный результат): \( P(K|D) = 0.80 \)
• Вероятность того, что деталь с дефектом не будет выявлена (пропустит контроль): \( P(NK|D) = 1 - P(K|D) = 1 - 0.80 = 0.20 \)
• Вероятность того, что деталь без дефекта будет выявлена (ложноотрицательный результат): \( P(K|N) = ? \) (Эта информация не дана, но для попадания в продажу нам нужна вероятность того, что деталь не будет выявлена как дефектная, т.е. \( P(NK|N) \)).
• Предположим, что система контроля качества не выявляет детали без дефекта (т.е. \( P(K|N) = 0 \)). Тогда вероятность того, что деталь без дефекта не будет выявлена (попадает в продажу): \( P(NK|N) = 1 - P(K|N) = 1 - 0 = 1 \).

Мы хотим найти вероятность того, что очередная произведённая деталь попадёт в продажу. Деталь попадает в продажу, если она не будет выявлена системой контроля как дефектная. Это может произойти в двух случаях:

1. Деталь не имеет дефекта И не была выявлена как дефектная (что верно для всех деталей без дефекта по нашему предположению).
2. Деталь имеет дефект, НО не была выявлена как дефектная (прошла контроль).

Вероятность того, что деталь попадёт в продажу, равна вероятности того, что она не будет выявлена системой контроля. Это можно рассчитать по формуле полной вероятности, учитывая все случаи, когда деталь не выявляется как дефектная:

\( P(\text{попадёт в продажу}) = P(NK) \)

\( P(NK) = P(NK|D) \cdot P(D) + P(NK|N) \cdot P(N) \)

Подставляем известные значения:

\( P(NK) = (0.20) \cdot (0.09) + (1) \cdot (0.91) \)

\( P(NK) = 0.018 + 0.91 \)

\( P(NK) = 0.928 \)

Округляем до сотых:

\( 0.928 \approx 0.93 \)

Дерево эксперимента:

Начало

/ \(\textit{}\)

/ \(\textit{}\)

D (0.09) N (0.91)

/ \(\textit{}\) / \(\textit{}\)

/ \(\textit{}\) / \(\textit{}\)

K(0.80) NK(0.20) K(0) NK(1.00)

(Здесь K - выявлена как дефектная, NK - не выявлена как дефектная)

Вероятность того, что деталь попадёт в продажу, равна вероятности того, что она не будет выявлена системой контроля (NK).

\( P(NK) = P(NK \text{ и } D) + P(NK \text{ и } N) \)

\( P(NK) = P(NK|D) \cdot P(D) + P(NK|N) \cdot P(N) \)

\( P(NK) = 0.20 \cdot 0.09 + 1.00 \cdot 0.91 = 0.018 + 0.91 = 0.928 \)

Округляем до сотых: 0.93.

Ответ: 0.93