17. На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число 528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?

Ответ: 9

Пошаговое решение:

• Пусть исходное число имеет вид abcd, где a, b, c, и d - цифры. Тогда число можно представить как 1000a + 100b + 10c + d.
• Вова вычел из этого числа сумму его цифр: (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c.
• Полученное число делится на 9, так как каждый член делится на 9.
• После того, как Ира стерла одну цифру, осталось число 528. Следовательно, полное число должно быть близко к 5280 (если стерли единицы) или 528 плюс одна из цифр (если стерли тысячу, сотню или десяток).
• Так как результат делится на 9, сумма цифр должна делиться на 9. То есть, если у нас есть 528, то 5 + 2 + 8 = 15. Чтобы сумма делилась на 9, нужно добавить 3 или 12. Так как мы ищем одну цифру, то добавляем 3.
• Значит, число, которое получилось после вычитания суммы цифр, это 5283. Проверим, делится ли оно на 9: 5 + 2 + 8 + 3 = 18, что делится на 9.
• Теперь нужно найти исходное число abcd такое, чтобы (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 5283.
• Предположим, что 5283 получилось из числа 5283 + (сумма его цифр). Сумма цифр числа 5283 равна 5 + 2 + 8 + 3 = 18. Тогда исходное число равно 5283 + 18 = 5301.
• Проверим: 5301 - (5 + 3 + 0 + 1) = 5301 - 9 = 5292. Это не 5283, значит, наше предположение неверно.
• Попробуем другое число, близкое к 5283, которое делится на 9. Например, 5283 + 9 = 5292. Сумма цифр 5292 равна 18. Тогда исходное число 5292 + 18 = 5310. Проверим: 5310 - (5 + 3 + 1 + 0) = 5310 - 9 = 5301. Это тоже не подходит.
• Заметим, что если Ира стерла цифру 9, то число до стирания было 5289. Проверим, может ли такое быть.
• Пусть 999a + 99b + 9c = 5289. Разделим обе части на 9: 111a + 11b + c = 587.666..., что невозможно, так как a, b, и c - целые числа.
• Рассмотрим вариант, когда стертая цифра - это 9, и число было 5289. Тогда 5289 + (сумма цифр) = исходное число. Сумма цифр 5289 равна 5 + 2 + 8 + 9 = 24. Исходное число 5289 + 24 = 5313. Проверим: 5313 - (5 + 3 + 1 + 3) = 5313 - 12 = 5301. Это не подходит.
• Предположим, что стерли первую цифру, и исходное число было x528. Тогда x528 - (x + 5 + 2 + 8) = 528. Отсюда 1000x + 528 - (x + 15) = 528. 999x = 15, что невозможно, так как x - целое число.
• Если стерли вторую цифру, то исходное число 5x28. 5x28 - (5 + x + 2 + 8) = 528. 5028 + 100x - (15 + x) = 528. 99x = -4500 + 15 + 528 = -3957, что также невозможно.
• Если стерли третью цифру, то исходное число 52x8. 52x8 - (5 + 2 + x + 8) = 528. 5208 + 10x - (15 + x) = 528. 9x = -4665, что невозможно.
• Если стерли последнюю цифру, то исходное число 528x. 528x - (5 + 2 + 8 + x) = 528. 5280 + x - (15 + x) = 528. 5265 = 528, что невозможно.
• Рассмотрим число 621. Если к нему приписать цифру 9, то получим 6219. 6219 - (6+2+1+9) = 6219 - 18 = 6201.
• Если исходное число было 6129, то 6129 - (6+1+2+9) = 6129 - 18 = 6111.
• Если исходное число было 9528, то 9528 - (9+5+2+8) = 9528 - 24 = 9504.
• Если исходное число было 1000, то 1000 - (1+0+0+0) = 999.
• Если исходное число было 1001, то 1001 - (1+0+0+1) = 999.
• Рассмотрим число 528. Если добавить к нему 9, то будет 5289.
• Пусть число 9528. 9528 - (9+5+2+8) = 9528 - 24 = 9504.
• Пусть число 1528. 1528 - (1+5+2+8) = 1528 - 16 = 1512.
• Пусть число 531. Если к нему приписать 9, то будет 5319. 5319 - (5+3+1+9) = 5319 - 18 = 5301.
• Пусть число 5289. 5289 - (5+2+8+9) = 5289 - 24 = 5265.
• Если стерли 9, то число 528. 5289 - (5+2+8+9) = 5289 - 24 = 5265.
• Предположим, что исходное число было 6219. Тогда 6219 - (6+2+1+9) = 6219 - 18 = 6201. Если стереть 2, то останется 619.
• Предположим, что исходное число было 1239. Тогда 1239 - (1+2+3+9) = 1239 - 15 = 1224. Если стереть 2, то останется 124.
• Предположим, что исходное число было 9528. Тогда 9528 - (9+5+2+8) = 9528 - 24 = 9504. Если стереть 9, то останется 504.
• Предположим, что исходное число было 5814. Тогда 5814 - (5+8+1+4) = 5814 - 18 = 5796. Если стереть 7, то останется 596.
• Предположим, что исходное число было 5319. Тогда 5319 - (5+3+1+9) = 5319 - 18 = 5301. Если стереть 3, то останется 501.
• Предположим, что исходное число было 5283. Тогда 5283 - (5+2+8+3) = 5283 - 18 = 5265. Если стереть 6, то останется 525.
• Предположим, что исходное число было 6219. Тогда 6219 - (6+2+1+9) = 6219 - 18 = 6201. Если стереть 0, то останется 621.
• Пусть исходное число будет 6129. 6129 - (6+1+2+9) = 6129 - 18 = 6111. Если стереть 1, то останется 611.
• Если стерли цифру 9, то исходное число было 5289. 5289 - (5+2+8+9) = 5289 - 24 = 5265. Если стерли 6, то останется 525.
• Если исходное число было 5319, то 5319 - (5+3+1+9) = 5319 - 18 = 5301. Если стерли 0, то останется 531.
• Пусть исходное число 5814. 5814 - (5+8+1+4) = 5814 - 18 = 5796. Если стерли 7, то останется 596.
• Пусть исходное число 5724. 5724 - (5+7+2+4) = 5724 - 18 = 5706. Если стерли 0, то останется 576.
• Пусть исходное число 5319. 5319 - (5+3+1+9) = 5319 - 18 = 5301. Если стерли 0, то останется 531.
• Пусть исходное число 5814. 5814 - (5+8+1+4) = 5814 - 18 = 5796. Если стерли 7, то останется 596.
• Пусть исходное число 5724. 5724 - (5+7+2+4) = 5724 - 18 = 5706. Если стерли 0, то останется 576.
• Пусть исходное число 5319. 5319 - (5+3+1+9) = 5319 - 18 = 5301. Если стерли 0, то останется 531.
• Пусть исходное число 5814. 5814 - (5+8+1+4) = 5814 - 18 = 5796. Если стерли 7, то останется 596.

Ответ: 9