На уроке географии ученики физматкласса рисовали карту. 9 населённых пунктов пронумеровали цифрами от 1 до 9, а затем соединили дорогами лишь те пункты, из номеров которых можно составить двузначное число, делящееся на 3. В какие из представленных пунктов можно дойти по дорогам из пункта 1, пользуясь этой картой?

Решение:

Сначала определим, какие двузначные числа, образованные из номеров пунктов (от 1 до 9), делятся на 3. Для этого нужно вспомнить признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Возможные двузначные числа, образованные из цифр от 1 до 9:

• 12, 15, 18 (сумма цифр 3, 6, 9)
• 21, 24, 27 (сумма цифр 3, 6, 9)
• 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39 (сумма цифр 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12). Делятся на 3: 36, 39.
• 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49 (сумма цифр 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13). Делятся на 3: 42, 45, 48.
• 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59 (сумма цифр 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14). Делятся на 3: 51, 54, 57.
• 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69 (сумма цифр 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15). Делятся на 3: 63, 69.
• 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79 (сумма цифр 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16). Делятся на 3: 72, 75, 78.
• 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 89 (сумма цифр 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17). Делятся на 3: 81, 84, 87.
• 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 (сумма цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17). Делятся на 3: 93, 96.

Таким образом, дороги соединяют следующие пары пунктов:

• 1-2, 1-5, 1-8
• 2-1, 2-4, 2-7
• 3-6, 3-9
• 4-2, 4-5, 4-8
• 5-1, 5-4, 5-7
• 6-3, 6-9
• 7-2, 7-5, 7-8
• 8-1, 8-4, 8-7
• 9-3, 9-6

Теперь определим, в какие пункты можно попасть из пункта 1:

• Из пункта 1 можно напрямую дойти до пунктов 2, 5, 8.
• Из пункта 2 можно дойти до 4 и 7.
• Из пункта 5 можно дойти до 4 и 7.
• Из пункта 8 можно дойти до 4 и 7.
• Из пункта 4 можно дойти до 2 и 5.
• Из пункта 7 можно дойти до 2 и 5.

Проанализируем, куда можно добраться, начиная из пункта 1:

• 1 → 2 → 4 → 5 → 7 → 8 (все пункты, кроме 3, 6, 9)
• 1 → 5 → 4 → 2 → 7 → 8 (все пункты, кроме 3, 6, 9)
• 1 → 8 → 4 → 2 → 5 → 7 (все пункты, кроме 3, 6, 9)

Из пункта 1 можно добраться до всех пунктов, кроме тех, которые формируют числа, делящиеся на 3, но сами не имеют прямой связи с пунктом 1 или с пунктами, связанными с 1. Обратим внимание на пункты 3, 6, 9. Чтобы попасть в них, нужно сначала попасть в пункты, номера которых в сумме с 3, 6 или 9 дадут число, делящееся на 3, или наоборот. Например, из пункта 1 не напрямую, но через другие пункты, в 3, 6, 9 не попасть, если дороги образованы только числами, делящимися на 3. В задании сказано, что дороги соединяют пункты, из номеров которых можно составить двузначное число, делящееся на 3. Это означает, что если мы имеем число 12, то пункты 1 и 2 соединены. Если число 21, то пункты 2 и 1 соединены. Если число 36, то 3 и 6 соединены. Исходя из этого, мы составили список связей выше. Нам нужно найти пункты, ДО КОТОРЫХ можно добраться из пункта 1. Мы видим, что пункты 3, 6, 9 не связаны напрямую с 1, 2, 4, 5, 7, 8. Например, для 36: 3 и 6 соединены. Для 39: 3 и 9 соединены. Для 63: 6 и 3 соединены. Для 69: 6 и 9 соединены. Для 93: 9 и 3 соединены. Для 96: 9 и 6 соединены. Из пункта 1, используя указанные дороги, мы можем добраться до пунктов 2, 4, 5, 7, 8. Пункты 3, 6, 9 не доступны из пункта 1.

Давайте проверим числа, которые делятся на 3:

• 12, 15, 18
• 21, 24, 27
• 36, 39
• 42, 45, 48
• 51, 54, 57
• 63, 69
• 72, 75, 78
• 81, 84, 87
• 93, 96

Пункты, которые соединены дорогами:

• 1-2, 1-5, 1-8
• 2-1, 2-4, 2-7
• 3-6, 3-9
• 4-2, 4-5, 4-8
• 5-1, 5-4, 5-7
• 6-3, 6-9
• 7-2, 7-5, 7-8
• 8-1, 8-4, 8-7
• 9-3, 9-6

Из пункта 1 мы можем дойти до:

• 2 (через 12)
• 5 (через 15)
• 8 (через 18)
• 4 (через 12 → 24, или 15 → 54, или 18 → 84)
• 7 (через 12 → 27, или 15 → 57, или 18 → 87)
• 3 (невозможно достичь напрямую или через доступные пункты, т.к. пути идут через 6 или 9)
• 6 (невозможно достичь напрямую или через доступные пункты, т.к. пути идут через 3 или 9)
• 9 (невозможно достичь напрямую или через доступные пункты, т.к. пути идут через 3 или 6)

Следовательно, из пункта 1 можно дойти до пунктов 2, 4, 5, 7, 8.

В данном случае, если пункты 3, 6, 9 не соединены с пунктами 1, 2, 4, 5, 7, 8, то из пункта 1 до них добраться нельзя. Однако, если возможно использовать цифры из пунктов, например, 31, 32, 34, 35, 37, 38, то эти пункты будут соединены. Но в задаче сказано, что соединяются пункты, из номеров которых можно составить двузначное число, делящееся на 3. И мы это учли.

Исходя из списка доступных пунктов из пункта 1, мы видим, что можно добраться до пунктов 2, 4, 5, 7, 8. Пункты 3, 6, 9 не являются достижимыми из пункта 1.

Проверим варианты:

• 2: Да (12)
• 3: Нет
• 4: Да (12→24)
• 5: Да (15)
• 6: Нет

Значит, можно дойти до пунктов 2, 4, 5.

Проверим ещё раз. Цифры, которые могут образовывать двузначные числа, делящиеся на 3:

• 1,2 → 12, 21
• 1,5 → 15, 51
• 1,8 → 18, 81
• 2,4 → 24, 42
• 2,7 → 27, 72
• 4,5 → 45, 54
• 4,8 → 48, 84
• 5,7 → 57, 75
• 7,8 → 78, 87
• 3,6 → 36, 63
• 3,9 → 39, 93
• 6,9 → 69, 96

Связи:

• 1 ↔ 2, 1 ↔ 5, 1 ↔ 8
• 2 ↔ 4, 2 ↔ 7
• 4 ↔ 5, 4 ↔ 8
• 5 ↔ 7
• 7 ↔ 8
• 3 ↔ 6, 3 ↔ 9
• 6 ↔ 9

Начинаем из пункта 1:

• 1 → 2 → 4 → 8 → 1 (цикл)
• 1 → 2 → 7 → 5 → 1 (цикл)
• 1 → 5 → 4 → 2 → 7 → 8 → 1 (цикл)

Из пункта 1 можно достичь пунктов: 2, 5, 8. Из 2 можно достичь 4, 7. Из 4 можно достичь 5, 8. Из 5 можно достичь 7. Из 7 можно достичь 8. Из 8 можно достичь 4.

Таким образом, из пункта 1 можно достичь пунктов: 2, 4, 5, 7, 8.

Пункты 3, 6, 9 образуют отдельную группу, связанную между собой (3-6, 3-9, 6-9), но не связанную с группой, включающей пункт 1. Следовательно, из пункта 1 нельзя добраться до пунктов 3, 6, 9.

Проверим варианты ответа:

• 2: достижимо
• 3: недостижимо
• 4: достижимо
• 5: достижимо
• 6: недостижимо

В вариантах только один правильный ответ. Значит, нужно выбрать пункт, до которого можно добраться из пункта 1. Пункты 2, 4, 5, 7, 8 достижимы. Из предложенных вариантов (2, 3, 4, 5, 6) достижимы: 2, 4, 5.

Если выбирать только один пункт, то нужно уточнение. Но если вопрос