На треугольном участке разбиты две круглые клумбы с цветами. Клумбы касаются друг друга и границ участка, а один из углов участка составляет 60°. Рассчитайте отношение радиуса большей клумбы к радиусу меньшей клумбы.

Пошаговое решение:

1. Пусть радиус большей клумбы равен R, а радиус меньшей клумбы равен r.
2. Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой.
3. Угол между прямой, соединяющей центры окружностей, и стороной треугольника равен 30°, так как линия центров делит угол пополам.
4. Расстояние между центрами окружностей равно R + r.
5. Проведем перпендикуляры из центров окружностей на сторону треугольника. Получим два прямоугольных треугольника.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 30°, гипотенузой R + r и катетами R и r, являющимися радиусами окружностей.
7. Синус угла 30° равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(30°) = \frac{R - r}{R + r} \]
8. Так как \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), то \[ \frac{1}{2} = \frac{R - r}{R + r} \]
9. Решим уравнение относительно отношения R/r: \[ R + r = 2(R - r) \] \[ R + r = 2R - 2r \] \[ R = 3r \]

Ответ: Отношение радиуса большей клумбы к радиусу меньшей клумбы равно 3.