3. На стороне $$CD$$ ромба $$ABCD$$ лежит точка $$M$$ так, что $$CM = MD$$, $$O$$ – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$\overrightarrow{AO}$$, $$\overrightarrow{AM}$$, $$\overrightarrow{MB}$$ через векторы $$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD}$$.

В ромбе $$ABCD$$ диагонали являются биссектрисами его углов и точкой пересечения делятся пополам.

1) Выразим вектор $$\overrightarrow{AO}$$ через векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$. Так как $$O$$ - точка пересечения диагоналей, то $$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$. Вектор $$\overrightarrow{AC}$$ равен сумме векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$, то есть $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$. Следовательно, $$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$.

2) Выразим вектор $$\overrightarrow{AM}$$ через векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$. Вектор $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}$$. Так как $$CM = MD$$, то $$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$$. Вектор $$\overrightarrow{DC}$$ равен вектору $$\overrightarrow{AB}$$, то есть $$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{a}$$. Следовательно, $$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$. Тогда $$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$.

3) Выразим вектор $$\overrightarrow{MB}$$ через векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$. Вектор $$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CM}$$. Так как $$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{b}$$, а $$\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$, то $$\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$; $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$; $$\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$$.