На стороне AC треугольника ABC взяли точку M так, что AM : CM = 3 : 4. Точка O — середина отрезка BM. В каком отношении прямая AO делит сторону BC треугольника?

Обозначим точку пересечения прямой AO со стороной BC через E. Пусть BE : EC = x : y.

По теореме Менелая для треугольника BMC и прямой AOE:

\(\dfrac{BE}{EC}\cdot\dfrac{CA}{AM}\cdot\dfrac{MO}{OB}=1\).

Так как \(AM:CM=3:4\), то \(CA:AM=7:3\). Кроме того, O — середина BM, поэтому \(MO:OB=1:1\).

Следовательно, \(\dfrac{BE}{EC}\cdot\dfrac{7}{3}=1\), откуда \(\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{3}{7}\).

Ответ: прямая AO делит BC в отношении BE : EC = 3 : 7.