На стороне AC треугольника ABC взяли точку M так, что AM : CM = 3 : 4. Точка O — середина отрезка BM (рис. 25, а). В каком отношении прямая AO делит сторону BC треугольника?

Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке E. По условию AM : MC = 3 : 4.

1. Обозначим через S площадь треугольника ABC. Поскольку треугольники ABM и MBC имеют высоту из B к AC, их площади относятся как основания: S_ABM : S_MBC = 3 : 4.
2. O — середина BM, поэтому BO = OM. Треугольники ABO и AOM имеют равные высоты к прямой BM, значит, их площади равны. Следовательно, S_ABO = 1/2 S_ABM = 3S/14.
3. Треугольники AOE и BOE имеют общую высоту из O к BC, поэтому S_AOE : S_BOE = AE : EB. Также треугольники AOE и COE имеют общую высоту из O к BC, поэтому S_AOE : S_COE = AE : EC. Удобнее использовать площадь ABE: она равна S_ABO + S_AOE, а площадь BCE — S_BOE + S_COE.
4. Так как E лежит на AO, а O делит BM пополам, из подобия треугольников ABE и MEO следует BE : EC = 3 : 7. Это также можно получить из теоремы Менелая для треугольника ABC и секущей M–O–E: (AM/MC) · (CE/EB) · (BO/OM) = 1, откуда (3/4) · (CE/EB) · 1 = 1, следовательно, CE/EB = 4/3.

Ответ: прямая AO делит сторону BC в отношении BE : EC = 3 : 4.