На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точка К и М соответственно, на стороне АС выбраны точки Н и Е так, что НМ || АВ КЕ || ВС, прямые МН и КЕ пресекаются в точке Х. Угол А равен 56", угол С равен 44". Чему равен угол КХН?

Решение:

Дан треугольник \( ABC \) с \( \angle A = 56^{\circ} \) и \( \angle C = 44^{\circ} \).

1. Найдем \( \angle B \) треугольника \( ABC \): \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 56^{\circ} - 44^{\circ} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
2. По условию \( KE || BC \). Так как \( KE \) пересекает \( AB \) и \( AC \), то \( \angle AKЕ = \angle ABC = 80^{\circ} \) (соответственные углы при параллельных \( KE \) и \( BC \) и секущей \( AB \)), и \( \angle AEK = \angle ACB = 44^{\circ} \) (соответственные углы при параллельных \( KE \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).
3. По условию \( MH || AB \). Так как \( MH \) пересекает \( AC \) и \( BC \), то \( \angle AMH = \angle BAC = 56^{\circ} \) (соответственные углы при параллельных \( MH \) и \( AB \) и секущей \( AC \)), и \( \angle CMH = \angle CBA = 80^{\circ} \) (соответственные углы при параллельных \( MH \) и \( AB \) и секущей \( BC \)).
4. Точка \( X \) — точка пересечения \( MH \) и \( KE \).
5. Рассмотрим треугольник \( KХЕ \). В нем \( \angle KХЕ = \angle A = 56^{\circ} \) (так как \( KE || BC \) и \( MH || AB \), то \( AKXE \) — параллелограмм, и \( \angle AKЕ = \angle ABC \) и \( \angle AEK = \angle ACB \).
6. Рассмотрим треугольник \( KХC \) (где \( C \) - вершина треугольника \( ABC \)).
7. Рассмотрим треугольник \( XME \). \( \angle MEX \) — это \( \angle AEK = 44^{\circ} \). \( \angle XME \) — это \( \angle CMH \) (если \( X \) находится на \( MH \) и \( KE \)).
8. Из условия \( MH || AB \) и \( KE || BC \). Точка \( X \) — точка пересечения \( MH \) и \( KE \).
9. Рассмотрим треугольник \( KХН \). \( \angle KHX \) и \( \angle KХH \) — это углы, которые нам нужно найти.
10. Рассмотрим треугольник \( XHE \). \( \angle XEH = \angle AEK = 44^{\circ} \). \( \angle XHE = \angle AMH = 56^{\circ} \) (или \( \angle HAE = 56^{\circ} \)).
11. Точка \( X \) находится на \( MH \) и \( KE \).
12. Рассмотрим \( \triangle KXE \). \( \angle XKE \) — это часть \( \angle AKЕ = 80^{\circ} \). \( \angle XEK = 44^{\circ} \).
13. Рассмотрим \( \triangle KHX \). \( \angle KХH \) — искомый. \( \angle HKX \) — это \( \angle AKЕ = 80^{\circ} \) (если \( X \) лежит на \( KE \) и \( AB \)).
14. Из параллельности \( MH || AB \) и \( KE || BC \) следует, что \( AKXE \) является параллелограммом. Тогда \( \angle AXK = \angle AEK = 44^{\circ} \) (противоположные углы параллелограмма).
15. \( \angle AKX = \angle MEX = 44^{\circ} \).
16. В \( \triangle AKX \): \( \angle KAX = 56^{\circ} \), \( \angle AKX = ? \), \( \angle AXK = ? \)
17. Если \( AKXE \) — параллелограмм, то \( \angle AKX = \angle AEK = 44^{\circ} \) и \( \angle AXE = \angle AKЕ = 80^{\circ} \).
18. \( \angle AXK \) и \( \angle AXE \) — смежные, их сумма \( 180^{\circ} \). \( \angle AXK = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
19. \( \angle KХH \) — это вертикальный угол к \( \angle AXE \), то есть \( 80^{\circ} \) или \( \angle AXK = 100^{\circ} \). \( \angle KХH \) — угол, образованный пересечением \( MH \) и \( KE \).
20. Рассмотрим \( \triangle XHE \). \( \angle XEH = \angle AEK = 44^{\circ} \). \( \angle XHE \) — это \( \angle AMH = 56^{\circ} \). \( \angle EXH = 180^{\circ} - 44^{\circ} - 56^{\circ} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
21. \( \angle KХH \) — вертикальный угол к \( \angle EXH \).

Ответ: 80°.