На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB = 2:3, BN:NC = 2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Введём координаты: пусть A = (0, 0), B = (5, 0), C = (0, 3). Тогда из отношений сторон получаем M = (2, 0), N = (5/3, 1).

Точка на AN имеет вид O = (5t/3, t), а точка на CM имеет вид O = (2s, 3 − 3s), где t и s — параметры.

Приравниваем координаты: \(5t/3 = 2s\), \(t = 3 - 3s\). Из первого уравнения \(t = 6s/5\). Подставляем во второе: \(6s/5 = 3 - 3s\), откуда \(s = 5/7\).

На отрезке CM параметр s отсчитывается от C, поэтому \(CO:OM = s:(1-s) = 5/7:2/7 = 5:2\).

Ответ: \(CO:OM = 5:2\).