На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки M и D так, что MD || AC и ∠MDA = ∠MDB. Известно, что AD = 6. Найдите CD.

Решение:

Так как \(\angle MDA = \angle MDB\), то MD — биссектриса угла \(\angle ADB\).

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике \(\triangle ADB\) биссектриса MD делит сторону AB на отрезки AM и MB. Это не совсем та теорема, которая нам нужна.

Рассмотрим \(\triangle ADC\). Мы знаем, что \(MD \parallel AC\).

Из условия \(\angle MDA = \angle MDB\) и \(MD \parallel AC\), следует, что \(\angle MDA = \angle CAD\) (как накрест лежащие при параллельных прямых MD и AC и секущей AD).

Таким образом, \(\angle MDB = \angle CAD\).

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Точка M лежит на стороне AB, точка D лежит на стороне BC.

Если \(MD ‖ AC\), то по теореме Фалеса (или теореме о подобных треугольниках), \(\triangle BDM ′ ′ ′ \triangle BAC\).

Это означает, что \(\frac{BM}{BA} = \frac{BD}{BC} = \frac{MD}{AC}\).

У нас есть условие \(\angle MDA = \angle MDB\).

Из \(MD ‖ AC\) и секущей AD следует, что \(\angle MDA = \angle CAD\) (как накрест лежащие углы).

Из \(\angle MDA = \angle MDB\) и \(\angle MDA = \angle CAD\) следует, что \(\angle MDB = \angle CAD\).

Из \(MD ‖ AC\) и секущей BD следует, что \(\angle MDB = \angle ACB\) (как соответственные углы).

Следовательно, \(\angle CAD = \angle ACB\).

Если в \(\triangle ADC\) углы при основании AC равны (или точнее, если \(\angle CAD = \angle ACB\), что означает, что \(CD = AD\) в \(\triangle ADC\)), то \(\triangle ADC\) — равнобедренный.

Однако, \(D\) лежит на стороне \(BC\), а \(AC\) — одна из сторон.

Переосмыслим: \(MD ‖ AC\). \(\angle MDA = \angle MDB\). \(\angle MDA = \angle CAD\) (как накрест лежащие).

Отсюда \(\angle MDB = \angle CAD\).

Из \(MD ‖ AC\) и секущей BD следует, что \(\angle MDB = \angle ACB\) (как соответственные углы).

Значит, \(\angle CAD = \angle ACB\).

Рассмотрим \(\triangle ADC\). У нас есть \(\angle CAD\) и \(\angle ACB\). Если \(D\) лежит на \(BC\), то \(\angle ACB\) — это угол \(\triangle ABC\).

Рассмотрим \(\triangle BDM\) и \(\triangle BAC\). Так как \(MD ‖ AC\), то \(\triangle BDM ′ ′ ′ \triangle BAC\). Следовательно, \(\frac{BD}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{MD}{AC}\) и \(\angle BDM = \angle BAC\), \(\angle BMD = \angle BCA\).

Нам дано \(\angle MDA = \angle MDB\).

Из \(MD ‖ AC\) и секущей AD: \(\angle MDA = \angle CAD\) (накрест лежащие).

Следовательно, \(\angle MDB = \angle CAD\).

Из \(MD ‖ AC\) и секущей BD: \(\angle MDB = \angle ACB\) (соответственные).

Значит, \(\angle CAD = \angle ACB\).

Рассмотрим \(\triangle ADC\). У нас есть \(\angle CAD\) и \(\angle ACD = \angle ACB\). Значит, \(\angle CAD = \angle ACD\).

Следовательно, \(\triangle ADC\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AC\).

В равнобедренном треугольнике \(\triangle ADC\) равны стороны, лежащие напротив равных углов.

Противоположная сторона к \(\angle ACD\) — это \(AD\).

Противоположная сторона к \(\angle CAD\) — это \(CD\).

Значит, \(AD = CD\).

Из условия известно, что \(AD = 6\).

Следовательно, \(CD = 6\).

Проверка:

Если \(AD=CD=6\), то \(\triangle ADC\) — равнобедренный.

Тогда \(\angle CAD = \angle ACD\).

Так как \(MD ‖ AC\), то \(\angle MDB = \angle ACB\) (соответственные).

И \(\angle MDA = \angle CAD\) (накрест лежащие).

Из \(\angle CAD = \angle ACD\) и \(D\) лежит на \(BC\), \(\angle ACD = \angle ACB\).

Значит, \(\angle CAD = \angle ACB\).

Из \(\angle MDA = \angle CAD\) и \(\angle MDB = \angle ACB\), и \(\angle CAD = \angle ACB\), следует, что \(\angle MDA = \angle MDB\), что соответствует условию.

Ответ: 6