На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяли точки M и N так, что угол MCN равен 40°, а угол CMN равен 70°. Найдите угол CND.

Решение: 1. Рассмотрим треугольник CMN. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол CNM равен: $$\angle CNM = 180^\circ - \angle MCN - \angle CMN = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$$. 2. Так как углы CMN и CNM равны, треугольник CMN является равнобедренным, и CM = CN. 3. Пусть сторона квадрата равна a. Обозначим AM = x и AN = y. 4. Тогда MB = a - x и ND = a - y. 5. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle AMN\) и \(\triangle CBM\) и \(\triangle CDN\). В \(\triangle AMN\) :\(AM = x, AN = y\). В \(\triangle CBM\) :\(CB = a, BM = a-x\). В \(\triangle CDN\) :\(CD = a, DN = a-y\). 6. Рассмотрим прямоугольные треугольники CBM и CDN. Если доказать, что эти треугольники равны, то углы BCM и CDN будут равны. 7. Докажем, что треугольники CBM и CDN равны. Так как CM = CN (из пункта 2), BC = CD (стороны квадрата), то прямоугольные треугольники CBM и CDN равны по гипотенузе и катету. 8. Тогда \(\angle BCM = \angle CDN\). 9. \(\angle BCN = 90^\circ - \angle CDN\). 10. Рассмотрим угол MCN, он равен 40°. Угол BCD равен 90° (угол квадрата), тогда \(\angle BCM + \angle DCN = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). 11. Так как \(\angle BCM = \angle CDN\), то \(\angle BCM = \angle DCN = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ\). 12. Следовательно, \(\angle CDN = 25^\circ\). **Ответ: 25°**