На столе стоит банка с водой цилиндрической формы. В эту банку опускают шарик радиусом r = 3 см, при этом уровень воды в банке поднимается, шарик лежит на дне банки и касается водной поверхности. Найди объем воды в банке (в сантиметрах), если радиус основания банки R = 9 см. (В окошке напиши ответ, делённый на п.)

Задание 15: Объём воды в банке

Дано:

• Радиус шарика: \( r = 3 \) см.


• Радиус основания банки: \( R = 9 \) см.


• Шарик лежит на дне банки и касается водной поверхности.

Найти: Объём воды в банке (ответ, делённый на \( \pi \)).

Решение:

Эта задача сводится к нахождению объёма части цилиндра, который занимает вода, после погружения шарика. Однако, поскольку шарик полностью погружен в воду и касается дна, уровень воды поднимется ровно настолько, чтобы покрыть шарик. Объём воды, который вытеснит шарик, равен объёму самого шарика. Этот объём воды поднимет общий уровень воды в банке. Нам нужно найти объём воды, который был в банке до того, как шарик коснулся поверхности.

Объём шарика вычисляется по формуле:

\[ V_{шарика} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Подставим значение радиуса шарика:

\[ V_{шарика} = \frac{4}{3} \pi (3 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \text{ см}^3) = 36 \pi \text{ см}^3 \]

Когда шарик опускают в банку, уровень воды поднимается. Шарик лежит на дне и касается водной поверхности. Это означает, что высота поднявшейся воды равна диаметру шарика, то есть \( h_{воды} = 2r = 2 \cdot 3 = 6 \) см. При этом шар полностью погружен.

Объём воды, который находится выше дна банки и ниже уровня касания с шариком, равен объёму шарика. Таким образом, объём воды, который заняла банка до погружения шарика, можно найти, вычтя объём шарика из объёма цилиндрического столба воды, который занимает шарик.

Радиус основания цилиндрической банки \( R = 9 \) см. Объём воды, поднятой шариком, равен объёму шарика, который составляет \( 36 \pi \) см³. Этот объём воды образует цилиндр с радиусом \( R \) и некоторой высотой. Однако, нам нужно найти объём воды, который был до погружения шарика.

Рассмотрим объём, который занимает вода вместе с шариком. Уровень воды поднялся до такой отметки, что шарик касается поверхности. Поскольку шарик лежит на дне, высота воды, которая приходится на объем шарика, равна его диаметру (6 см). Объем части банки, занятый водой и шариком, до уровня касания шарика с поверхностью, можно представить как сумму:

• Объём самой воды, которая была в банке изначально.


• Объём шарика.

Поскольку шарик полностью погружен и касается водной поверхности, высота столба воды, занимающего место шарика, равна диаметру шарика, то есть \( h_{воды} = 2r = 6 \) см.

Объём воды, который вытеснил шарик, равен объёму шарика: \( V_{вытесненной_воды} = V_{шарика} = 36 \pi \text{ см}^3 \).

Этот объём воды, когда он поднял уровень, занял цилиндрическую форму с радиусом основания банки \( R = 9 \) см. Но эта вода как бы «заменяет» собой часть объёма, который изначально занимала вода.

Проще всего найти объём воды, который занимал шарик, и этот объем и есть тот объём, который поднимает общий уровень воды.

Задача формулируется так: найти объём воды, который был в банке до погружения шарика. Когда шарик опускается, он вытесняет объём воды, равный своему объёму. Этот вытесненный объём воды и есть то, что нам нужно найти, но по условию, нужно найти объём воды, который был в банке до погружения шарика.

Давайте переформулируем: у нас есть цилиндрическая банка. В нее долили воду до определенного уровня. Затем опустили шарик. Уровень воды поднялся. Шарик лежит на дне и касается поверхности воды. Это значит, что верхняя точка шарика находится на уровне поверхности воды.

Высота столба воды, который мы видим после погружения шарика, равна диаметру шарика, то есть \( h_{поднятой_воды} = 2r = 6 \) см.

Объём, который занимает этот столбик воды (радиусом \( R \) и высотой \( h_{воды} \)), это тот объём, который «добавился» к первоначальному объёму воды из-за погружения шарика.

Объём этого цилиндрического столба равен:

\[ V_{столба} = \pi R^2 h_{воды} \]

Однако, это не совсем так. Нам нужно найти объём воды, который был в банке до погружения шарика.

Рассмотрим ситуацию: шарик лежит на дне. Уровень воды такой, что он касается шарика сверху. Это означает, что высота столба воды, который