На рёбрах SM, SN и SP тетраэдра SMNP отмечены точки K, L и R так, что SK : KM = SL : LN = SR : RP. а) Докажите, что плоскости KLR и MNP параллельны. б) Найдите площадь треугольника KLR, если площадь треугольника MNP равна 27 см² и SR : RP = 2 : 1.

а) Обозначим общее отношение через \(t\): \(\dfrac{SK}{KM}=\dfrac{SL}{LN}=\dfrac{SR}{RP}=t\). Тогда точки делят соответствующие рёбра в одинаковой доле, поэтому \(\dfrac{SK}{SM}=\dfrac{SL}{SN}=\dfrac{SR}{SP}=\dfrac{t}{1+t}\). По теореме Фалеса в плоскости, пересекающей рёбра пирамиды с общей вершиной, отрезки, соединяющие точки деления, параллельны соответствующим сторонам основания. Следовательно, \(KL\parallel MN\), \(LR\parallel NP\), \(KR\parallel MP\), откуда плоскости \(KLR\) и \(MNP\) параллельны.

б) Из \(SR:RP=2:1\) следует \(\dfrac{SR}{SP}=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac23\). Треугольники \(KLR\) и \(MNP\) подобны с коэффициентом \(\dfrac23\), поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\(S_{KLR}=27\cdot\left(\dfrac23\right)^2=27\cdot\dfrac49=12\text{ см}^2.\)

Ответ: 12 см².