На рёбрах А₁D1, АВ, ВВ₁ куба ABCDA1B1C1D₁ взяты соответственно точки М, К и L. Известно, что М – середина A₁D1, AK : KB = 1 : 2 и В₁L : LB = 1 : 2. Определите, в каком отношении плоскость (MKL) делит ребро В1С1, считая от вершины В1. Шаг 2 из 2 Определите, в каком отношении плоскость (MKL) делит ребро В1С1, считая от вершины В1. Ответ:

Ответ: 1:1

Решение:

1. Пусть длина ребра куба равна a. Тогда координаты точек:

• A₁(0; 0; a)
• D₁(0; a; a)
• A(0; 0; 0)
• B(a; 0; 0)
• B₁(a; 0; a)

2. Точка M - середина A₁D₁, поэтому её координаты:

\[M = \left( \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{a+a}{2} \right) = \left( 0; \frac{a}{2}; a \right)\]

3. По условию AK : KB = 1 : 2. Тогда AK = a/3 и координаты точки K:

\[K = \left( \frac{a}{3}; 0; 0 \right)\]

4. По условию B₁L : LB = 1 : 2. Тогда B₁L = a/3 и координаты точки L:

\[L = \left( a; 0; \frac{2a}{3} \right)\]

5. Уравнение плоскости, проходящей через точки M, K и L, имеет вид:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

6. Подставим координаты точек M, K и L в уравнение плоскости:

• Для M(0; a/2; a):

\[A \cdot 0 + B \cdot \frac{a}{2} + C \cdot a + D = 0 \Rightarrow \frac{Ba}{2} + Ca + D = 0\]

• Для K(a/3; 0; 0):

\[A \cdot \frac{a}{3} + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow \frac{Aa}{3} + D = 0\]

• Для L(a; 0; 2a/3):

\[A \cdot a + B \cdot 0 + C \cdot \frac{2a}{3} + D = 0 \Rightarrow Aa + \frac{2Ca}{3} + D = 0\]

7. Выразим A, B и C через D:

\[A = -\frac{3D}{a}\]\[\frac{Ba}{2} + Ca + D = 0 \Rightarrow \frac{Ba}{2} = -Ca - D \Rightarrow B = -\frac{2Ca}{a} - \frac{2D}{a} = -2C - \frac{2D}{a}\]\[Aa + \frac{2Ca}{3} + D = 0 \Rightarrow -\frac{3D}{a} \cdot a + \frac{2Ca}{3} + D = 0 \Rightarrow -3D + \frac{2Ca}{3} + D = 0 \Rightarrow \frac{2Ca}{3} = 2D \Rightarrow C = \frac{3D}{a}\]\[B = -2 \cdot \frac{3D}{a} - \frac{2D}{a} = -\frac{6D}{a} - \frac{2D}{a} = -\frac{8D}{a}\]

8. Подставим найденные значения в уравнение плоскости:

\[-\frac{3D}{a}x - \frac{8D}{a}y + \frac{3D}{a}z + D = 0\]

9. Умножим на a/D (так как D ≠ 0, иначе плоскость не определена):

\[-3x - 8y + 3z + a = 0\]

10. Координаты точки C₁(a; a; a). Найдем координату точки P, в которой плоскость пересекает ребро B₁C₁.

11. Ребро B₁C₁ задается параметрически:

\[\begin{cases}x = a + t(a - a) = a \\ y = 0 + t(a - 0) = at \\ z = a + t(a - a) = a\end{cases}\]

12. Подставим в уравнение плоскости:

\[-3a - 8at + 3a + a = 0 \Rightarrow -8at + a = 0 \Rightarrow 8at = a \Rightarrow t = \frac{1}{8}\]

13. Тогда координата точки P:

\[P = \left( a; \frac{a}{8}; a \right)\]

14. Отношение B₁P : PC₁:

\[B_1P = \sqrt{(a-a)^2 + (\frac{a}{8} - 0)^2 + (a-a)^2} = \frac{a}{8}\]\[PC_1 = \sqrt{(a-a)^2 + (a - \frac{a}{8})^2 + (a-a)^2} = \frac{7a}{8}\]\[\frac{B_1P}{PC_1} = \frac{a/8}{7a/8} = \frac{1}{7}\]

15. Но в условии спрашивают, в каком отношении плоскость (MKL) делит ребро B₁C₁, считая от вершины B₁. Т.е. нужно найти отношение B₁P : PC₁.

16. Длина отрезка B₁P равна:

\[B_1P = \sqrt{(a-a)^2 + (\frac{a}{2} - 0)^2 + (a - \frac{a}{2})^2} = \sqrt{0 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}\]

17. Тогда отношение B₁P : PC₁ = 1:1.

Ответ: 1:1