На рисунке Докажите, что: 136 AB = AC, AP = AQ. а) треугольник ВОС равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину ос- нования ВС и перпендикулярна к нему. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм? В равнобедренном треугольнике одна сторо- на равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием? Найдите сторону равнобедренного треуголь- ника, если две другие стороны равны: 13см 68см и 2 см; в) 10 см и 5 см.

Ответ: Решения задач ниже.

1. Доказательство для рисунка 136:

• а) Треугольник BOC равнобедренный, так как BO = OC (как радиусы одной окружности).
• б) Прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему, поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = AC) и AO - биссектриса (так как AP = AQ и треугольник AAQ тоже равнобедренный). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

2. Существование треугольника со сторонами:

• а) 1 м, 2 м и 3 м: Не существует, так как не выполняется неравенство треугольника (сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей стороны): 1 + 2 = 3, что не больше 3.
• б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм: Не существует, так как не выполняется неравенство треугольника: 1,2 + 1 = 2,2, что не больше 2,4.

3. Основание равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Возможны два случая:

• Если боковые стороны равны 25 см, то основание равно 10 см.
• Если основание равно 25 см, то боковые стороны равны 10 см. Но это невозможно, так как 10 + 10 < 25, что нарушает неравенство треугольника.

Таким образом, основанием может быть только сторона, равная 10 см.

4. Сторона равнобедренного треугольника:

• а) Если две другие стороны равны 7 см и 3 см, то возможны два варианта:

1. Боковые стороны равны 7 см, тогда третья сторона (основание) равна 3 см.
2. Боковые стороны равны 3 см, тогда третья сторона (основание) равна 7 см. Но это невозможно, так как 3 + 3 < 7, что нарушает неравенство треугольника.

Следовательно, стороны треугольника 7 см, 7 см и 3 см.

• б) Если две другие стороны равны 8 см и 2 см, то возможны два варианта:

1. Боковые стороны равны 8 см, тогда третья сторона (основание) равна 2 см.
2. Боковые стороны равны 2 см, тогда третья сторона (основание) равна 8 см. Но это невозможно, так как 2 + 2 < 8, что нарушает неравенство треугольника.

Следовательно, стороны треугольника 8 см, 8 см и 2 см.

• в) Если две другие стороны равны 10 см и 5 см, то возможны два варианта:

1. Боковые стороны равны 10 см, тогда третья сторона (основание) равна 5 см.
2. Боковые стороны равны 5 см, тогда третья сторона (основание) равна 10 см. Но это невозможно, так как 5 + 5 = 10, что нарушает неравенство треугольника.

Следовательно, стороны треугольника 10 см, 10 см и 5 см.

Ответ: Решения задач выше.