На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. б) Найдите объём данного многогранника (12 баллов).

Решение:

Объём данного многогранника можно найти, разбив его на два простых прямоугольных параллелепипеда.

Вариант 1: Разбиение на два параллелепипеда.

1. Вертикальный параллелепипед:

• Размеры: длина = 5, ширина = 5, высота = 7.
• Объём: \( V_1 = 5 \times 5 \times 7 = 25 \times 7 = 175 \).

2. Горизонтальный выступающий параллелепипед:

• Размеры: длина = 5, ширина = 5, высота = 4.
• Объём: \( V_2 = 5 \times 5 \times 4 = 25 \times 4 = 100 \).

Общий объём:

Суммируем объёмы двух частей: \( V = V_1 + V_2 = 175 + 100 = 275 \).

Вариант 2: Вычитание объёма.

Представим, что это большой параллелепипед размерами 5x5x(7+4) = 5x5x11, из которого вырезана часть. Это не подходит.

Представим как большой параллелепипед 5x5x7, к которому добавлен параллелепипед 5x5x4. Но это тоже не так.

Рассмотрим фигуру как один большой параллелепипед, из которого вычли часть.

Представим большой параллелепипед, который включает всю фигуру. Его размеры могут быть: длина = 5 + 5 = 10, ширина = 5, высота = 7. Тогда объем = \( 10 \times 5 \times 7 = 350 \). Часть, которая не входит в фигуру, имеет размеры 5x5x7. Это неверно.

Самый простой способ:

Рассмотрим общий большой параллелепипед, который мог бы вместить всю фигуру. Его размеры: длина = 5 + 5 = 10, ширина = 5, высота = 7.

Нет, размеры правильные: длина = 5, ширина = 5, высота = 7 + 4 = 11. Нет.

Правильные размеры для общего параллелепипеда:

Длина = 5 (выступ) + 5 (основная часть) = 10. Ширина = 5. Высота = 7 (вертикальная часть).

Нет, это не так.

Самый надежный способ — разбить на две части, как в Варианте 1.

1. Вертикальная часть:

• Ширина = 5
• Длина = 5
• Высота = 7
• Объём: \( V_1 = 5 \times 5 \times 7 = 175 \)

2. Горизонтальная часть (выступ):

• Ширина = 5
• Длина = 5
• Высота = 4
• Объём: \( V_2 = 5 \times 5 \times 4 = 100 \)

Общий объём:

\( V = V_1 + V_2 = 175 + 100 = 275 \).

Проверка:

Можно представить это как один большой параллелепипед 5x5x(7+4) = 5x5x11, из которого вычли часть. Нет.

Можно представить как параллелепипед 5x5x7 и добавить к нему параллелепипед 5x5x4. Но это не вся площадь.

Правильное разбиение:

1. Параллелепипед 5x5x7. Объём = \( 5 \times 5 \times 7 = 175 \).

2. Параллелепипед 5x5x4. Объём = \( 5 \times 5 \times 4 = 100 \).

Сумма объёмов: \( 175 + 100 = 275 \).

Альтернативное разбиение:

1. Параллелепипед 5x5x4. Объём = \( 5 \times 5 \times 4 = 100 \).

2. Параллелепипед 5x5x7. Объём = \( 5 \times 5 \times 7 = 175 \).

3. Параллелепипед 5x5x3 (верхняя часть первого параллелепипеда, которая выступает).

Нет, это разбиение неверное.

Простое разбиение:

1. Основная вертикальная часть: 5 (ширина) x 5 (глубина) x 7 (высота). Объём \( V_1 = 5 \times 5 \times 7 = 175 \).

2. Дополнительная горизонтальная часть: 5 (ширина) x 5 (глубина) x 4 (высота). Объём \( V_2 = 5 \times 5 \times 4 = 100 \).

Общий объём = \( V_1 + V_2 = 175 + 100 = 275 \).

Ответ: Объём многогранника равен 275.