На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

Чтобы найти точку, в которой функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение на отрезке \( [-3; 2] \), нам нужно проанализировать график её производной \( f'(x) \). Наибольшее значение \( f(x) \) будет достигаться там, где \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус, или на границах отрезка.

Рассмотрим поведение \( f'(x) \) на отрезке \( [-3; 2] \):

• На интервале \( [-3; -1) \), \( f'(x) > 0 \), значит, \( f(x) \) возрастает.
• На интервале \( (-1; 2] \), \( f'(x) < 0 \), значит, \( f(x) \) убывает.

Следовательно, в точке \( x = -1 \) достигается локальный максимум.

Теперь сравним значения \( f(x) \) на границах отрезка и в точке локального максимума (если она попадает в отрезок).

Точка \( x = -1 \) находится внутри отрезка \( [-3; 2] \).

• В точке \( x = -3 \) функция начинает возрастать.
• В точке \( x = -1 \) функция достигает локального максимума.
• В точке \( x = 2 \) функция уже убывает.

Для определения наибольшего значения на отрезке \( [-3; 2] \), мы должны сравнить значения \( f(-3) \), \( f(-1) \) и \( f(2) \). Так как \( f'(x) > 0 \) до \( x = -1 \) и \( f'(x) < 0 \) после \( x = -1 \) на отрезке \( [-3; 2] \), то \( x = -1 \) является точкой максимума функции \( f(x) \) на данном отрезке.

Если бы вопрос был о значении \( f'(x) \), то наибольшее значение \( f'(x) \) на отрезке \( [-3; 2] \) было бы достигнуто в точке, где \( f'(x) \) имеет пик, что примерно около \( x = -1 \) (ближе к \( x = -1 \) чем к \( x = -3 \) или \( x = 2 \)). Однако, вопрос о наибольшем значении \( f(x) \).

На основе анализа графика производной, функция \( f(x) \) возрастает до \( x = -1 \) и убывает после \( x = -1 \) на отрезке \( [-3; 2] \). Следовательно, наибольшее значение \( f(x) \) достигается в точке \( x = -1 \).