На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 3). В какой точке отрезка [–3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

Чтобы найти точку, в которой функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение на отрезке \( [-3; 2] \), нужно проанализировать график её производной \( f'(x) \). Наибольшее значение \( f(x) \) будет достигаться там, где производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус (точка максимума), или на концах отрезка.

1. Анализ графика производной \( f'(x) \) на отрезке \( [-3; 2] \):
• На интервале \( [-3; \text{примерно } -1] \), график \( f'(x) \) находится выше оси \( x \), то есть \( f'(x) > 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) возрастает.
• Примерно в \( x = -1 \), производная равна нулю, и затем становится отрицательной.
• На интервале \( (\text{примерно } -1; 2] \), график \( f'(x) \) находится ниже оси \( x \), то есть \( f'(x) < 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) убывает.
2. Определение точки максимума:

Точка, где производная меняет знак с плюса на минус, является точкой локального максимума. На отрезке \( [-3; 2] \) такая точка находится примерно при \( x = -1 \).

3. Сравнение значений на концах отрезка и в точке максимума:

Чтобы определить, где \( f(x) \) принимает наибольшее значение, нужно сравнить значения \( f(-3) \), \( f(2) \) и \( f(-1) \).

Так как \( f(x) \) возрастает до \( x = -1 \) и убывает после \( x = -1 \) на данном отрезке, то наибольшее значение достигается в точке \( x = -1 \).

Ответ: наибольшее значение функция \( f(x) \) принимает в точке \( x = -1 \).