На рисунке изображён график y = f'(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). В какой точке отрезка [1; 5] функция f(x) принимает наибольшее значение, если f(1)>f(5)?

Решение:

Чтобы найти точку, в которой функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение на отрезке \( [1; 5] \), нужно проанализировать поведение её производной \( f'(x) \) на этом интервале.

Наибольшее значение функции достигается в точке, где производная меняет знак с плюса на минус, или на границах отрезка.

Рассмотрим график \( f'(x) \) на отрезке \( [1; 5] \):

• На интервале \( [1; x_0] \) (где \( x_0 \) — точка пересечения \( f'(x) \) с осью \( Ox \) в районе \( x=1 \)), \( f'(x) \) находится ниже оси \( Ox \), то есть \( f'(x) < 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) убывает на этом интервале.
• На интервале \( [x_0; 5] \), \( f'(x) \) находится выше оси \( Ox \), то есть \( f'(x) > 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) возрастает на этом интервале.

Таким образом, в точке \( x_0 \) (примерно \( x \approx 1 \)) функция \( f(x) \) имеет локальный минимум.

Теперь сравним значения функции на границах отрезка \( [1; 5] \). Нам дано условие \( f(1) > f(5) \).

Поскольку функция убывает до \( x_0 \) и возрастает после \( x_0 \), наибольшее значение на отрезке \( [1; 5] \) будет достигаться либо в точке \( x=1 \), либо в точке \( x=5 \).

Из условия \( f(1) > f(5) \) следует, что наибольшее значение функция \( f(x) \) принимает в точке \( x = 1 \).

Ответ: наибольшее значение функция f(x) принимает в точке x = 1.