На рисунке изображён график некоторой функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой. Пользуясь рисунком, вычислите F(8) - F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение:

По определению первообразной, \( F(b) - F(a) \) равно определённому интегралу от \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \). То есть, \( F(8) - F(2) = \int_{2}^{8} f(x) dx \).

Геометрически определённый интеграл от \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x=a \) и \( x=b \).

На данном рисунке график функции \( y = f(x) \) состоит из двух лучей. Первый луч идёт от точки \( (0, 1) \) до точки \( (3, 1) \). Второй луч идёт от точки \( (3, 1) \) до точки \( (8, 0) \).

Нам нужно найти интеграл от \( x=2 \) до \( x=8 \).

На отрезке \( [2, 3] \) функция \( f(x) = 1 \).

На отрезке \( [3, 8] \) функция является линейной. Найдём её уравнение. Угловой коэффициент \( k = \frac{0-1}{8-3} = \frac{-1}{5} = -0.2 \). Уравнение прямой: \( y - 1 = -0.2(x - 3) \), то есть \( y = -0.2x + 0.6 + 1 \), \( y = -0.2x + 1.6 \).

Теперь вычислим интеграл:

\( \int_{2}^{8} f(x) dx = \int_{2}^{3} 1 dx + \int_{3}^{8} (-0.2x + 1.6) dx \)

\( \int_{2}^{3} 1 dx = [x]_{2}^{3} = 3 - 2 = 1 \)

\( \int_{3}^{8} (-0.2x + 1.6) dx = [-0.2 \frac{x^2}{2} + 1.6x]_{3}^{8} = [-0.1x^2 + 1.6x]_{3}^{8} \)

\( = (-0.1(8)^2 + 1.6(8)) - (-0.1(3)^2 + 1.6(3)) \)

\( = (-0.1(64) + 12.8) - (-0.1(9) + 4.8) \)

\( = (-6.4 + 12.8) - (-0.9 + 4.8) \)

\( = 6.4 - 3.9 = 2.5 \)

\( \int_{2}^{8} f(x) dx = 1 + 2.5 = 3.5 \)

Ответ: 3.5