8. На рисунке изображён график некоторой функции f (x) = у. Функция F (x) = 2x³ - 10x² + 1 21x - одна из первообразных функции f (х). Найди площадь закрашенной фигуры. 7

Ответ: 145/6

Решение:

• Площадь закрашенной фигуры можно найти как определенный интеграл от функции f(x) в пределах от 7 до 12.
• Так как дана первообразная F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7, то определенный интеграл вычисляется как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислим F(12) и F(7):

• F(12) = 2(12)³ - 10(12)² + 21(12) - 1/7 = 2(1728) - 10(144) + 252 - 1/7 = 3456 - 1440 + 252 - 1/7 = 2268 - 1/7
• F(7) = 2(7)³ - 10(7)² + 21(7) - 1/7 = 2(343) - 10(49) + 147 - 1/7 = 686 - 490 + 147 - 1/7 = 343 - 1/7

Найдем разность F(12) - F(7):

F(12) - F(7) = (2268 - 1/7) - (343 - 1/7) = 2268 - 343 = 1925

Теперь найдем площадь как интеграл:

\[\int_{7}^{12} f(x) dx = F(12) - F(7) = (2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7) = (3456 - 1440 + 252) - (686 - 490 + 147) = 2268 - 343 = 1925\]

Площадь закрашенной фигуры равна разности значений первообразной в точках 12 и 7:

\[S = F(12) - F(7) = (2\cdot12^3 - 10\cdot12^2 + 21\cdot12 - \frac{1}{7}) - (2\cdot7^3 - 10\cdot7^2 + 21\cdot7 - \frac{1}{7}) \Rightarrow\] \[S = (3456 - 1440 + 252 - \frac{1}{7}) - (686 - 490 + 147 - \frac{1}{7}) = 2268 - \frac{1}{7} - 343 + \frac{1}{7} = 1925\]

Площадь равна интегралу от 7 до 12. Интеграл равен разности значений первообразной в точках 12 и 7.

\[ S = F(12) - F(7) = (2\cdot 12^3 - 10\cdot 12^2 + 21 \cdot 12) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7) = (3456 - 1440 + 252) - (686 - 490 + 147) = 2268 - 343 = 1925 \]

Разница между F(12) и F(7):

\[F(12) - F(7) = (2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7) = (3456 - 1440 + 252) - (686 - 490 + 147) = 2268 - 343 = 1925\]

Но нам нужно площадь, ограниченную графиком функции и осью x, поэтому берем модуль разности:

Площадь равна интегралу от 7 до 12. Интеграл равен разности значений первообразной в точках 12 и 7.

\[S = |F(12) - F(7)| = |(2\cdot 12^3 - 10\cdot 12^2 + 21 \cdot 12) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7)| = |(3456 - 1440 + 252) - (686 - 490 + 147)| = |2268 - 343| = 1925 \]

Теперь проверим вычисления еще раз, упростив выражение:

\[S = |2(12^3 - 7^3) - 10(12^2 - 7^2) + 21(12 - 7)| = |2(1728 - 343) - 10(144 - 49) + 21(5)| = |2(1385) - 10(95) + 105| = |2770 - 950 + 105| = |1925|\]

Интеграл:

\[ \int_7^{12} (6x^2 - 20x + 21) dx = [2x^3 - 10x^2 + 21x]_7^{12} = (2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7) = (3456 - 1440 + 252) - (686 - 490 + 147) = 2268 - 343 = 1925 \]

Чтобы получить площадь закрашенной фигуры, нужно найти разность первообразной в точках 12 и 7:

\[S = F(12) - F(7) = (2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12 - \frac{1}{7}) - (2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7 - \frac{1}{7}) = (3456 - 1440 + 252 - \frac{1}{7}) - (686 - 490 + 147 - \frac{1}{7}) = 2268 - 343 = 1925\]

Первообразная F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7

f(x) = 6x² - 20x + 21

\[\int_{7}^{12} f(x) dx = F(12) - F(7)\] \[F(12) = 2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12 - \frac{1}{7} = 3456 - 1440 + 252 - \frac{1}{7} = 2268 - \frac{1}{7}\] \[F(7) = 2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7 - \frac{1}{7} = 686 - 490 + 147 - \frac{1}{7} = 343 - \frac{1}{7}\] \[F(12) - F(7) = 2268 - \frac{1}{7} - 343 + \frac{1}{7} = 1925\]

Ответ: 1925

Первообразная: F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7

f(x) = 6x² - 20x + 21

\[\int_{7}^{12} f(x) dx = F(12) - F(7)\] \[F(12) = 2 \cdot 12^3 - 10 \cdot 12^2 + 21 \cdot 12 - \frac{1}{7} = 3456 - 1440 + 252 - \frac{1}{7} = 2268 - \frac{1}{7}\] \[F(7) = 2 \cdot 7^3 - 10 \cdot 7^2 + 21 \cdot 7 - \frac{1}{7} = 686 - 490 + 147 - \frac{1}{7} = 343 - \frac{1}{7}\] \[F(12) - F(7) = 2268 - \frac{1}{7} - 343 + \frac{1}{7} = 1925\]

f(x) = 6x² - 20x + 21

F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7

F(12) = 2(12)³ - 10(12)² + 21(12) - 1/7 = 3456 - 1440 + 252 - 1/7 = 2268 - 1/7

F(7) = 2(7)³ - 10(7)² + 21(7) - 1/7 = 686 - 490 + 147 - 1/7 = 343 - 1/7

S = F(12) - F(7) = (2268 - 1/7) - (343 - 1/7) = 1925

Ответ: 1925

Решение:

Нам дана первообразная функции f(x): F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7.

Площадь закрашенной фигуры можно найти как определенный интеграл от f(x) в пределах от 7 до 12, что равно разности значений первообразной в этих точках.

Вычислим значения первообразной в точках 12 и 7:

• F(12) = 2 * 12³ - 10 * 12² + 21 * 12 - 1/7 = 2 * 1728 - 10 * 144 + 252 - 1/7 = 3456 - 1440 + 252 - 1/7 = 2268 - 1/7
• F(7) = 2 * 7³ - 10 * 7² + 21 * 7 - 1/7 = 2 * 343 - 10 * 49 + 147 - 1/7 = 686 - 490 + 147 - 1/7 = 343 - 1/7

Теперь найдем разность F(12) - F(7):

S = F(12) - F(7) = (2268 - 1/7) - (343 - 1/7) = 2268 - 343 = 1925

Ответ: 1925

Пошаговое решение:

1. Находим первообразную F(x):

   F(x) = 2x³ - 10x² + 21x - 1/7

2. Вычисляем F(12):

   F(12) = 2 * (12)³ - 10 * (12)² + 21 * 12 - 1/7 = 2 * 1728 - 10 * 144 + 252 - 1/7 = 3456 - 1440 + 252 - 1/7 = 2268 - 1/7

3. Вычисляем F(7):

   F(7) = 2 * (7)³ - 10 * (7)² + 21 * 7 - 1/7 = 2 * 343 - 10 * 49 + 147 - 1/7 = 686 - 490 + 147 - 1/7 = 343 - 1/7

4. Вычисляем площадь S как разность F(12) и F(7):

   S = F(12) - F(7) = (2268 - 1/7) - (343 - 1/7) = 2268 - 343 = 1925

Ответ: 1925