На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где числа a, b и c – целые. Найдите f(-12).

По графику видно, что функция проходит через точки:

(-2, -2)

(-1, -3)

(0, -2)

(1, -1)

(2, 2)

Подставим эти точки в уравнение функции $$f(x) = ax^2 + bx + c$$: 1. Для точки (0, -2): $$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = -2$$ $$c = -2$$ Теперь уравнение выглядит так: $$f(x) = ax^2 + bx - 2$$ 2. Для точки (1, -1): $$f(1) = a(1)^2 + b(1) - 2 = -1$$ $$a + b - 2 = -1$$ $$a + b = 1$$ (Уравнение 1) 3. Для точки (-1, -3): $$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) - 2 = -3$$ $$a - b - 2 = -3$$ $$a - b = -1$$ (Уравнение 2) Решим систему из двух уравнений: $$a + b = 1$$ $$a - b = -1$$ Сложим оба уравнения: $$(a + b) + (a - b) = 1 + (-1)$$ $$2a = 0$$ $$a = 0$$ Подставим $$a = 0$$ в Уравнение 1: $$0 + b = 1$$ $$b = 1$$ Итак, мы получили $$a = 0, b = 1, c = -2$$. Однако, если $$a=0$$, то функция $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ превращается в линейную функцию $$f(x) = x - 2$$. Но на графике изображена парабола, а не прямая. Это значит, что мы должны пересмотреть точки, которые мы выбрали. Давайте выберем другие точки, которые более точно соответствуют параболе: * Вершина параболы находится примерно в точке (-1, -3). Это точка минимума. * Еще одна точка, которая явно видна, это (0, -2). * Еще одна точка, где график пересекает ось X, находится между -2 и -1, и еще одна между 1 и 2. Но нам даны целые коэффициенты, поэтому мы должны выбрать точки, которые точно лежат на пересечении линий сетки. Давайте попробуем точки: * $$(-2, 2)$$ * $$(-1, -3)$$ * $$(0, -2)$$ Подставим эти точки в $$f(x) = ax^2 + bx + c$$: 1. Из $$(0, -2)$$ следует $$c = -2$$. 2. Из $$(-1, -3)$$: $$a(-1)^2 + b(-1) - 2 = -3$$ $$a - b - 2 = -3$$ $$a - b = -1$$ (Уравнение 1) 3. Из $$(-2, 2)$$: $$a(-2)^2 + b(-2) - 2 = 2$$ $$4a - 2b - 2 = 2$$ $$4a - 2b = 4$$ $$2a - b = 2$$ (Уравнение 2) Решим систему: $$2a - b = 2$$ $$a - b = -1$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$(2a - b) - (a - b) = 2 - (-1)$$ $$a = 3$$ Подставим $$a = 3$$ в уравнение $$a - b = -1$$: $$3 - b = -1$$ $$b = 3 + 1$$ $$b = 4$$ Итак, коэффициенты: $$a = 3$$, $$b = 4$$, $$c = -2$$. Проверим с точкой $$(1, -1)$$: $$f(1) = 3(1)^2 + 4(1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5$$. Это не совпадает с точкой $$(1, -1)$$. Вернемся к выбору точек. Точки, которые точно видны на пересечении линий сетки: * $$(-2, 2)$$ * $$(-1, -3)$$ * $$(0, -2)$$ * $$(1, -1)$$ У нас уже есть $$c = -2$$ из точки $$(0, -2)$$. Из точки $$(1, -1)$$: $$a(1)^2 + b(1) - 2 = -1$$ $$a + b - 2 = -1$$ $$a + b = 1$$ (Уравнение 1) Из точки $$(-1, -3)$$: $$a(-1)^2 + b(-1) - 2 = -3$$ $$a - b - 2 = -3$$ $$a - b = -1$$ (Уравнение 2) Решаем систему: $$a + b = 1$$ $$a - b = -1$$ Складываем уравнения: $$2a = 0 \rightarrow a = 0$$. Снова линейная функция. Это означает, что точки $$(1, -1)$$ и $$(-1, -3)$$ не могут одновременно лежать на параболе с $$c=-2$$ и $$a \neq 0$$. Давайте посмотрим на график еще раз. Точка минимума (вершина) явно находится левее оси Y. Ее X-координата находится между -1 и -2. Попробуем точки, которые точно лежат на пересечении линий сетки: * $$(-3, 7)$$ (приблизительно) * $$(-2, 2)$$ * $$(-1, -3)$$ * $$(0, -2)$$ * $$(1, -1)$$ (приблизительно) Если взять $$(-2, 2)$$, $$(-1, -3)$$, $$(0, -2)$$, то $$c = -2$$. Уравнения: $$a - b = -1$$ $$4a - 2b = 4 \rightarrow 2a - b = 2$$ Вычитая первое из второго: $$(2a - b) - (a - b) = 2 - (-1) \rightarrow a = 3$$. Тогда $$3 - b = -1 \rightarrow b = 4$$. Функция: $$f(x) = 3x^2 + 4x - 2$$. Проверим точку $$(1, -1)$$: $$f(1) = 3(1)^2 + 4(1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5 \neq -1$$. Если взять $$(-2, 2)$$, $$(0, -2)$$, $$(1, -1)$$: $$c = -2$$ $$4a - 2b = 4 \rightarrow 2a - b = 2$$ $$a + b = 1$$ Складываем: $$3a = 3 \rightarrow a = 1$$. Тогда $$1 + b = 1 \rightarrow b = 0$$. Функция: $$f(x) = x^2 - 2$$. Проверим точку $$(-1, -3)$$: $$f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \neq -3$$. Попробуем точки $$(-2, 2)$$, $$(-1, -3)$$, $$(1, -1)$$: $$a(-1)^2 + b(-1) + c = -3 \rightarrow a - b + c = -3$$ $$a(1)^2 + b(1) + c = -1 \rightarrow a + b + c = -1$$ $$a(-2)^2 + b(-2) + c = 2 \rightarrow 4a - 2b + c = 2$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(a + b + c) - (a - b + c) = -1 - (-3)$$ $$2b = 2$$ $$b = 1$$ Теперь подставим $$b = 1$$ в уравнения: $$a - 1 + c = -3 \rightarrow a + c = -2$$ $$a + 1 + c = -1 \rightarrow a + c = -2$$ $$4a - 2(1) + c = 2 \rightarrow 4a + c = 4$$ Решим систему: $$a + c = -2$$ $$4a + c = 4$$ Вычтем первое из второго: $$(4a + c) - (a + c) = 4 - (-2)$$ $$3a = 6$$ $$a = 2$$ Подставим $$a = 2$$ в $$a + c = -2$$: $$2 + c = -2$$ $$c = -4$$ Получили $$a = 2$$, $$b = 1$$, $$c = -4$$. Функция: $$f(x) = 2x^2 + x - 4$$. Проверим точки: $$f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) - 4 = 2 - 1 - 4 = -3$$ (Верно) $$f(1) = 2(1)^2 + 1 - 4 = 2 + 1 - 4 = -1$$ (Верно) $$f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) - 4 = 2(4) - 2 - 4 = 8 - 2 - 4 = 2$$ (Верно) Теперь найдем $$f(-12)$$: $$f(-12) = 2(-12)^2 + (-12) - 4$$ $$f(-12) = 2(144) - 12 - 4$$ $$f(-12) = 288 - 12 - 4$$ $$f(-12) = 288 - 16$$ $$f(-12) = 272$$ Ответ: 272