На рисунке изображён график функции f(x) = log_a(x+b). Найдите значение x, при котором f(x) = 4.

Решение:

На графике отмечены две точки: \( (-3; 1) \) и \( (-1; 2) \). Подставим их в уравнение функции \( f(x) = \log_a(x+b) \).

Из точки \( (-3; 1) \) получаем: \( 1 = \log_a(-3+b) \).

Из точки \( (-1; 2) \) получаем: \( 2 = \log_a(-1+b) \).

Возведём обе части первого уравнения в степень \( a \): \( a^1 = -3+b \), откуда \( b = a+3 \).

Возведём обе части второго уравнения в степень \( a \): \( a^2 = -1+b \).

Подставим \( b = a+3 \) во второе уравнение: \( a^2 = -1 + (a+3) \) \( a^2 = a+2 \) \( a^2 - a - 2 = 0 \).

Решим квадратное уравнение относительно \( a \):

\[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Получаем два возможных значения для \( a \): \( a_1 = \frac{1+3}{2} = 2 \) и \( a_2 = \frac{1-3}{2} = -1 \).

Так как основание логарифма \( a \) должно быть положительным и не равным 1, то \( a = 2 \).

Теперь найдём \( b \): \( b = a+3 = 2+3 = 5 \).

Таким образом, функция имеет вид \( f(x) = \log_2(x+5) \).

Найдем значение \( x \), при котором \( f(x) = 4 \):

\[ \log_2(x+5) = 4 \]

Возведём обе части уравнения в степень 2:

\[ x+5 = 2^4 \] \( x+5 = 16 \) \( x = 16 - 5 \) \( x = 11 \).

Ответ: 11