На рисунке изображены графики функций видов $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ и $$g(x) = kx$$, пересекающиеся в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

На графике изображены парабола \( f(x) = ax^2 + bx + c \) и прямая \( g(x) = kx \). Точки пересечения А и В соответствуют решениям уравнения \( ax^2 + bx + c = kx \).

Из графика видно, что одна из точек пересечения — это точка А, расположенная в начале координат (0, 0). Это означает, что при \( x=0 \) обе функции равны нулю:

• \( f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \). Так как \( f(0)=0 \), то \( c=0 \).
• \( g(0) = k(0) = 0 \). Это условие выполняется всегда.

Таким образом, функция параболы имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx \).

Также на графике видно, что точка А имеет координаты \( (0, 0) \). Точка В имеет координаты \( (x_B, y_B) \).

Из графика видно, что через точку \( A(0, 0) \) проходит прямая \( g(x) = kx \).

На графике параболы \( f(x) = ax^2 + bx \) отмечены следующие точки:

• Точка \( (0, 0) \) — начало координат.
• Точка \( A \) — одна из точек пересечения, она же начало координат \( (0, 0) \).
• Другая точка пересечения — точка \( B \).
• На параболе отмечены точки \( (1, 2) \) и \( (0, 0) \).
• На прямой отмечены точки \( (0, 0) \) и \( (-1, -2) \).
• Точка \( B \) является точкой пересечения, и по графику видно, что она имеет координаты \( (1, 2) \).

Проверим, действительно ли \( (1, 2) \) является точкой пересечения.

Подставим точку \( (1, 2) \) в уравнение параболы \( f(x) = ax^2 + bx \). Через точку \( (0, 0) \) и \( (1, 2) \) проходит парабола. Так как \( c=0 \), имеем \( f(x) = ax^2 + bx \).

Подставим точку \( (1, 2) \): \( 2 = a(1)^2 + b(1) = a+b \).

Подставим точку \( (0, 0) \): \( 0 = a(0)^2 + b(0) = 0 \). Это подтверждает, что \( c=0 \).

На графике также отмечена точка \( (-1, 2) \) на параболе, если мы продолжим ее ветви.

Теперь рассмотрим прямую \( g(x) = kx \). Через точку \( (0, 0) \) и \( (1, 2) \) проходит прямая \( g(x) = kx \).

Подставим точку \( (1, 2) \): \( 2 = k(1) \), следовательно \( k=2 \).

Уравнение прямой: \( g(x) = 2x \).

Уравнение параболы: \( f(x) = ax^2 + bx \). Мы знаем, что \( a+b = 2 \).

Точки пересечения находятся из уравнения \( ax^2 + bx = 2x \).

\( ax^2 + bx - 2x = 0 \)

\( ax^2 + (b-2)x = 0 \)

\( x(ax + (b-2)) = 0 \)

Корни этого уравнения: \( x=0 \) (точка А) и \( ax + (b-2) = 0 \).

Из второго уравнения: \( ax = -(b-2) = 2-b \).

\( x = \frac{2-b}{a} \).

Это абсцисса точки В. Нам нужно найти \( x_B \).

Также мы знаем, что \( a+b = 2 \), откуда \( b = 2-a \).

Подставим \( b \) в выражение для \( x_B \):

\( x_B = \frac{2-(2-a)}{a} = \frac{2-2+a}{a} = \frac{a}{a} = 1 \).

Таким образом, абсцисса точки В равна 1.

В точке \( x=1 \), \( y = g(1) = 2(1) = 2 \) и \( y = f(1) = a(1)^2 + b(1) = a+b \). Так как \( a+b = 2 \), то \( y=2 \).

Следовательно, точка В имеет координаты \( (1, 2) \).

Ответ: 1