На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠BDC.

Пошаговое решение:

Для решения задачи определим координаты точек и длины сторон треугольника BDC.

1. Определяем координаты точек:
   Пусть точка A имеет координаты (0,0). Тогда:
   B = (4, 5)
   D = (2, 1)
   C = (6, 6)
2. Находим длину стороны BD:
   \( BD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2√5 \)
3. Находим длину стороны DC:
   \( DC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \)
4. Находим длину стороны BC:
   \( BC = \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
5. Используем теорему косинусов для нахождения cos ∠BDC:
   \( BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 BD DC cos \angle BDC \)
   \( 5 = 20 + 41 - 2 (2√5) \sqrt{41} cos \angle BDC \)
   \( 5 = 61 - 4√{205} cos \angle BDC \)
   \( 4√{205} cos \angle BDC = 56 \)
   \( cos \angle BDC = \frac{56}{4√{205}} = \frac{14}{\sqrt{205}} \)
6. Находим sin ∠BDC:
   \( \sin^2 = 1 - \cos^2 \)
   \( \sin^2 = 1 - \left( \frac{14}{\sqrt{205}} \right)^2 = 1 - \frac{196}{205} = \frac{205 - 196}{205} = \frac{9}{205} \)
   \( \sin = \sqrt{\frac{9}{205}} = \frac{3}{\sqrt{205}} = \frac{3 \sqrt{205}}{205} \)