На рисунке изображен график y = f'(x) – производной функции f(x). Найдите количество точек максимума.

Решение:

Точки максимума функции \( f(x) \) соответствуют точкам, где её производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. На графике это точки, где кривая \( y = f'(x) \) пересекает ось \( x \) сверху вниз.

Рассмотрим график \( y = f'(x) \):

• При \( x < x_1 \) (где \( x_1 \) — первое пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) > 0 \) (график выше оси \( x \)).
• При \( x_1 < x < x_2 \) (где \( x_2 \) — второе пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) < 0 \) (график ниже оси \( x \)). Таким образом, в точке \( x_1 \) — максимум функции \( f(x) \).
• При \( x_2 < x < x_3 \) (где \( x_3 \) — третье пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) > 0 \). Таким образом, в точке \( x_2 \) — минимум функции \( f(x) \).
• При \( x_3 < x < x_4 \) (где \( x_4 \) — четвертое пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) < 0 \). Таким образом, в точке \( x_3 \) — максимум функции \( f(x) \).
• При \( x_4 < x < x_5 \) (где \( x_5 \) — пятое пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) > 0 \). Таким образом, в точке \( x_4 \) — минимум функции \( f(x) \).
• При \( x_5 < x < x_6 \) (где \( x_6 \) — шестое пересечение оси \( x \) слева), \( f'(x) < 0 \). Таким образом, в точке \( x_5 \) — максимум функции \( f(x) \).
• При \( x > x_6 \), \( f'(x) > 0 \). Таким образом, в точке \( x_6 \) — минимум функции \( f(x) \).

На графике видно 6 точек, где \( f'(x) = 0 \). Из них 3 точки являются точками максимума (когда \( f'(x) \) меняет знак с '+' на '-'):

1. Первая точка пересечения оси \( x \) слева.
2. Третья точка пересечения оси \( x \) слева.
3. Пятая точка пересечения оси \( x \) слева.

Ответ: 3