На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-2; 6].

Решение:

На графике изображена производная функции \( f'(x) \). Точки экстремума функции \( f(x) \) находятся там, где производная равна нулю, или на концах отрезка.

Из графика видно, что \( f'(x) = 0 \) при \( x = -3 \), \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Нас интересует отрезок \( [-2; 6] \). На этом отрезке точки, где \( f'(x) = 0 \), это \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Теперь проанализируем знаки производной на интервале \( [-2; 6] \):

• На интервале \( [-2; 0) \) функция \( f'(x) \) положительна (график выше оси \( Ox \)), значит, \( f(x) \) возрастает.
• На интервале \( (0; 6) \) функция \( f'(x) \) отрицательна (график ниже оси \( Ox \)), значит, \( f(x) \) убывает.
• На интервале \( (6; 8) \) функция \( f'(x) \) положительна (график выше оси \( Ox \)), значит, \( f(x) \) возрастает.

Точка \( x = 0 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

На концах отрезка \( [-2; 6] \):

• В точке \( x = -2 \) функция возрастает (так как \( f'(x) > 0 \) на \( [-2; 0) \)).
• В точке \( x = 6 \) функция перестает убывать и начинает возрастать (так как \( f'(x) < 0 \) на \( (0; 6) \) и \( f'(x) > 0 \) на \( (6; 8) \)). Значит, \( x = 6 \) является точкой минимума.

Сравниваем значения функции в этих точках (хотя значения функции нам не даны, мы можем судить по поведению производной).

На отрезке \( [-2; 0] \) функция возрастает.

На отрезке \( [0; 6] \) функция убывает.

Точка \( x=0 \) является локальным максимумом. \( x=6 \) является локальным минимумом.

На концах отрезка \( [-2, 6] \):

• \( x=-2 \): \( f'(x) \) положительна, функция возрастает.
• \( x=6 \): \( f'(x) \) равна 0, и до этого была отрицательна, после становится положительна. Это точка минимума.

На отрезке \( [-2; 6] \) экстремум функции \( f(x) \) будет в точках, где \( f'(x) = 0 \) или на концах отрезка.

Точки, где \( f'(x)=0 \) на отрезке \( [-2; 6] \) это \( x=0 \) и \( x=6 \).

Рассмотрим поведение функции:

• На \( [-2; 0) \) \( f'(x) > 0 \), значит \( f(x) \) возрастает.
• На \( (0; 6) \) \( f'(x) < 0 \), значит \( f(x) \) убывает.
• На \( (6; 8) \) \( f'(x) > 0 \), значит \( f(x) \) возрастает.

Следовательно, \( x=0 \) является точкой локального максимума (производная сменила знак с '+' на '-').

\( x=6 \) является точкой локального минимума (производная сменила знак с '-' на '+').

Сравнивая значения на концах отрезка и в точках экстремума:

• На \( [-2; 0] \) максимум достигается в \( x=0 \).
• На \( [0; 6] \) минимум достигается в \( x=6 \).

На всем отрезке \( [-2; 6] \) нам нужно найти точку экстремума. Точки, где производная равна нулю, являются кандидатами на экстремум. На отрезке \( [-2; 6] \) такие точки: \( x=0 \) и \( x=6 \).

\( x=0 \) — точка максимума.

\( x=6 \) — точка минимума.

Таким образом, точки экстремума функции \( f(x) \) на отрезке \( [-2; 6] \) — это \( x=0 \) и \( x=6 \).

Ответ: 0 и 6.