5. На рисунке хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, ∠ABM = ∠MEC = 90°, ∠CME = 60°, AC = 18 см. Найдите отрезок BE.

1. Рассмотрим треугольник CME. Так как ∠MEC = 90°, то ∠ECM = 180° - 90° - 60° = 30°. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. ∠ABM = 90°. ∠BAC = ∠ECM = 30° (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BC). Следовательно, ∠AEB = 180° - 90° - 30° = 60°. 3. Рассмотрим треугольник AEC. ∠AEC = ∠AEB = 60°. ∠ACE = ∠ECM = 30°. Следовательно, ∠EAC = 180° - 60° - 30° = 90°. 4. Так как ∠EAC = 90°, то EC - диаметр окружности. 5. AM - высота в треугольнике EAC и является также биссектрисой (т.к. ∠CME = 60°), следовательно, треугольник EAC - равнобедренный. AE = AC = 18 см. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. BE = AE * tg(∠BAE) = AE * tg(30°) = 18 * (1 / √3) = 18 * (√3 / 3) = 6√3 см. Ответ: (BE = 6\sqrt{3})