На рисунке диаметры двух концентрических окружностей равны 40 и 32. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности. Найдите длину хорды АВ.

Решение:

Дано две концентрические окружности с центром в точке O. Диаметр большей окружности равен 40, значит, её радиус R = 40 / 2 = 20. Диаметр меньшей окружности равен 32, значит, её радиус r = 32 / 2 = 16.

Хорда AB большей окружности является касательной к меньшей окружности. Проведем радиус меньшей окружности из центра O к точке касания хорды AB. Этот радиус будет перпендикулярен хорде AB. Обозначим точку касания как M. Таким образом, OM = r = 16.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. Гипотенузой в этом треугольнике является радиус большей окружности, проведённый до точки A, то есть OA = R = 20. Один из катетов — это радиус меньшей окружности OM = 16.

По теореме Пифагора найдём второй катет AM:

\[ AM^2 = OA^2 - OM^2 \]

\[ AM^2 = 20^2 - 16^2 \]

\[ AM^2 = 400 - 256 \]

\[ AM^2 = 144 \]

\[ AM = \sqrt{144} = 12 \]

Так как радиус, проведённый к хорде из центра окружности, делит её пополам, то AM = MB. Следовательно, длина хорды AB равна:

\[ AB = AM + MB = 2 × AM \]

\[ AB = 2 × 12 = 24 \]

Ответ: 24