1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что AO OC BO OD. б) Найдите АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см. 2. Найдите отношение площа- дей треугольников АВС и КММ, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, ММ = = 15 см, КN = 20 см.

1. а) Доказать, что $$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$.

• $$\angle AOB = \angle COD$$ (как вертикальные);
• $$\angle OAB = \angle OCD$$ (как накрест лежащие при $$AB || CD$$ и секущей $$AC$$).

Следовательно, треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ подобны по двум углам. Из подобия следует:

$$\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}$$.

По основному свойству пропорции:

$$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$, что и требовалось доказать.

1. б) Найти $$AB$$, если $$BC = 24 \text{ см}$$, $$OB = 9 \text{ см}$$, $$CD = 25 \text{ см}$$.

Так как треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ подобны, то можем записать следующее отношение:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$.

Выразим $$OD$$ через $$BC$$ и $$OB$$. Из условия известно, что $$BC = 24 \text{ см}$$, $$OB = 9 \text{ см}$$, тогда:

$$OC = BC - OB = 24 - 9 = 15 \text{ см}$$.

Выразим $$OD$$ из пропорции $$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$:

$$\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}$$, следовательно, $$\frac{OD}{OC} = \frac{BO}{AO}$$

$$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OC}$$.

Тогда:

$$\frac{AB}{25} = \frac{9}{15}$$.

$$AB = \frac{9 \cdot 25}{15} = \frac{9 \cdot 5}{3} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$$.

Ответ: $$AB = 15 \text{ см}$$

2. Найти отношение площадей треугольников $$ABC$$ и $$KMN$$, если $$AB = 8 \text{ см}$$, $$BC = 12 \text{ см}$$, $$AC = 16 \text{ см}$$, $$KM = 10 \text{ см}$$, $$MN = 15 \text{ см}$$, $$KN = 20 \text{ см}$$.

Найдем отношение сторон треугольников:

$$\frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$;

$$\frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$;

$$\frac{AC}{KN} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$.

Так как все стороны пропорциональны, то треугольники подобны с коэффициентом подобия $$k = \frac{4}{5}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = k^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$$.

Ответ: $$\frac{16}{25}$$