5. На рисунке ABCD — прямоугольник, СН ⊥ BD, сторона АВ в 3 раза меньше диагонали. Найдите СН, если ВС = 20.

Пусть $$AB = x$$, тогда $$BD = 3x$$. Так как ABCD - прямоугольник, то $$AD = BC = 20$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AB^2 + AD^2 = BD^2$$

$$x^2 + 20^2 = (3x)^2$$

$$x^2 + 400 = 9x^2$$

$$8x^2 = 400$$

$$x^2 = 50$$

$$x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.

Значит, $$AB = 5\sqrt{2}$$, $$BD = 15\sqrt{2}$$.

Площадь треугольника BCD можно найти двумя способами:

1) $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2}$$

2) $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH$$

Приравняем оба выражения для площади:

$$\frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH = 50\sqrt{2}$$

$$15\sqrt{2} \cdot CH = 100\sqrt{2}$$

$$CH = \frac{100\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$$

$$CH = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$$

Ответ: $$\frac{20}{3}$$ или $$6\frac{2}{3}$$