На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) ∠2 + ∠4 = 220°; б) 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4; в) ∠2 − ∠1 = 30°.

При пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°. Поэтому \(∠1=∠3\), \(∠2=∠4\), а \(∠1+∠2=180°\).

а) \(∠2+∠4=220°\). Так как \(∠2=∠4\), получаем \(2∠2=220°\), значит \(∠2=∠4=110°\). Тогда \(∠1=∠3=180°-110°=70°\).

б) Обозначим \(∠1=∠3=x\), \(∠2=∠4=y\). Тогда \(3(∠1+∠3)=∠2+∠4\), то есть \(3(2x)=2y\), откуда \(y=3x\). Поскольку \(x+y=180°\), имеем \(4x=180°\), \(x=45°\), \(y=135°\). Следовательно, \(∠1=∠3=45°\), \(∠2=∠4=135°\).

в) Пусть \(∠1=x\), тогда \(∠2=x+30°\). Эти углы смежные, поэтому \(x+x+30°=180°\). Отсюда \(2x=150°\), \(x=75°\). Значит, \(∠1=∠3=75°\), \(∠2=∠4=105°\).

Ответ: а) \(∠1=∠3=70°\), \(∠2=∠4=110°\); б) \(∠1=∠3=45°\), \(∠2=∠4=135°\); в) \(∠1=∠3=75°\), \(∠2=∠4=105°\).