На рисунке 162 OB = 3 см, OA = 6 см. Найдите ∠3 и ∠4.

Решение:

В данной задаче отрезок OB является радиусом окружности, а OA — отрезком, соединяющим центр окружности с точкой A, находящейся вне окружности. На рисунке видно, что OB = 3 см, а OA = 6 см. Следовательно, OB — это радиус окружности, а OA — это отрезок, который в два раза длиннее радиуса.

Также на рисунке показано, что прямые AB и AC являются касательными к окружности, проведенными из точки A. Точки B и C — точки касания. Отрезки OB и OC являются радиусами окружности. Поскольку OB = OC = 3 см, а OA = 6 см, мы можем рассмотреть треугольники OBA и OCA.

Так как OB — радиус, проведенный в точку касания B, то OB перпендикулярен касательной AB. То есть, \( \angle OBA = 90° \). Аналогично, \( \angle OCA = 90° \).

Рассмотрим прямоугольные треугольники OBA и OCA:

• OB = OC (радиусы окружности)
• OA — общая гипотенуза

По двум сторонам и общей гипотенузе, треугольники OBA и OCA равны (по гипотенузе и катету, так как OB = OC). Следовательно, все соответствующие углы и стороны равны.

Из равенства треугольников следует, что \( \angle OAB = \angle OAC \) и \( \angle BOA = \angle COA \).

Угол \( \angle BOA \) обозначен на рисунке как \( \angle 1 + \angle 3 \), а \( \angle COA \) как \( \angle 2 + \angle 4 \). Но поскольку \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) обозначены как прямые углы (90 градусов), то это не совсем так. Скорее, \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) являются частями углов \( \angle BOA \) и \( \angle COA \) соответственно. Судя по рисунку, \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — это углы, на которые разделена часть центрального угла \( \angle BOC \) отрезком OA.

Однако, если \( \angle OBA = 90° \) и \( \angle OCA = 90° \), то \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) являются углами при вершине A. По условию, \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) обозначены как части угла \( \angle BAC \), на которые его делит отрезок OA. Так как \( \triangle OBA = \triangle OCA \), то \( \angle OAB = \angle OAC \). Следовательно, \( \angle 3 = \angle 4 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. Мы знаем, что OB = 3 см и OA = 6 см. В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета (OB) к гипотенузе (OA) равно синусу угла \( \angle OAB \) (который обозначен как \( \angle 3 \) на рисунке, если мы считаем, что OA делит \( \angle BAC \) пополам, а \( \angle BAC = \angle 3 + \angle 4 \)).

\( \sin(\angle 3) = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Из таблицы синусов известных углов, мы знаем, что \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( \angle 3 = 30° \).

Так как \( \angle 3 = \angle 4 \) из равенства треугольников OBA и OCA, то \( \angle 4 = 30° \).

Таким образом, \( \angle BAC = \angle 3 + \angle 4 = 30° + 30° = 60° \).

Проверим углы \( \angle BOA \) и \( \angle COA \). В прямоугольном треугольнике OBA:

\( \cos(\angle BOA) = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( \angle BOA = 60° \).

И \( \cos(\angle COA) = \frac{OC}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( \angle COA = 60° \).

Но тогда \( \angle BOC = \angle BOA + \angle COA = 60° + 60° = 120° \). Это центральный угол, опирающийся на дугу BC.

Угол \( \angle BAC \) — это угол между касательными. Он равен половине разности дуг, которые он заключает. Однако, в данном случае, \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) обозначены как углы при вершине A, а OA является биссектрисой \( \angle BAC \).

Итак, \( \angle 3 \) — это угол \( \angle OAB \) и \( \angle 4 \) — это угол \( \angle OAC \).

\( \sin(\angle 3) = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) → \( \angle 3 = 30° \).

\( \sin(\angle 4) = \frac{OC}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) → \( \angle 4 = 30° \).

Ответ: \( \angle 3 = 30° \), \( \angle 4 = 30° \).