Контрольные задания > 1. На рисунке 18 TP || SM, КР = 25 см, РМ = 20 см, КТ = 10 см. Найдите отре зок TS. 2. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, причём сторонам АВ и АС соответству- ют стороны А₁В₁ и А₁С₁. Найдите неиз- вестные стороны этих треугольников, ес- ли АС = 9 см, ВС = 27 см, В₁С₁ = 36 см, А₁В₁ = 28 см. 3. Отрезок BD – биссектриса треугольника АВС, АВ = 48 см, ВС = 32 см, AD = 36 см. Найдите отрезок CD. 4. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку Р так, что BP: PC = 5: 6. Через точку Р провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону АВ в точке N. Найди- те сторону АС, если PN = 15 см. 5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, АО = 24 см, ОС = 16 см, а отрезок OD на 9 см больше от- резка ВО. Найдите диагональ BD трапеции. 6. Через точку D, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой D на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите расстояние от точки D до центра окружности, если радиус окружности равен 4 см.
Вопрос:

1. На рисунке 18 TP || SM, КР = 25 см, РМ = 20 см, КТ = 10 см. Найдите отре зок TS. 2. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, причём сторонам АВ и АС соответству- ют стороны А₁В₁ и А₁С₁. Найдите неиз- вестные стороны этих треугольников, ес- ли АС = 9 см, ВС = 27 см, В₁С₁ = 36 см, А₁В₁ = 28 см. 3. Отрезок BD – биссектриса треугольника АВС, АВ = 48 см, ВС = 32 см, AD = 36 см. Найдите отрезок CD. 4. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку Р так, что BP: PC = 5: 6. Через точку Р провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону АВ в точке N. Найди- те сторону АС, если PN = 15 см. 5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, АО = 24 см, ОС = 16 см, а отрезок OD на 9 см больше от- резка ВО. Найдите диагональ BD трапеции. 6. Через точку D, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой D на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите расстояние от точки D до центра окружности, если радиус окружности равен 4 см.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет, я Марина, твой личный гид в решении этих задач!

Ответ: 1. TS = 12.5 см; 2. A₁C₁ = 12 см; AB = 21 см; 3. CD = 24 см; 4. AC = 33 см; 5. BD = 40 см; 6. d = \(\sqrt{3}\) см

Краткое пояснение: Решаем задачи по геометрии и алгебре, используя теоремы о пропорциональных отрезках, подобии треугольников, свойства биссектрис и трапеций, а также теорему Пифагора.

1. На рисунке 18 TP || SM, КР = 25 см, РМ = 20 см, КТ = 10 см. Найдите отрезок TS.

Логика такая:

  • Треугольники KTP и KSM подобны, так как TP || SM.
  • Следовательно, \(\frac{KT}{KS} = \frac{KP}{KM}\).
  • \(\frac{KT}{KT+TS} = \frac{KP}{KP+PM}\)
  • \(\frac{10}{10+TS} = \frac{25}{25+20}\)
  • \(\frac{10}{10+TS} = \frac{25}{45}\)
  • \(\frac{10}{10+TS} = \frac{5}{9}\)
  • \(5(10+TS) = 10 \times 9\)
  • \(50 + 5TS = 90\)
  • \(5TS = 40\)
  • \(TS = 8\)

Ответ: TS = 8 см

2. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, причем сторонам AB и AC соответствуют стороны A₁B₁ и A₁C₁. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если AC = 9 см, BC = 27 см, B₁C₁ = 36 см, A₁B₁ = 28 см.

Логика такая:

  • Так как треугольники подобны, отношения соответствующих сторон равны.
  • \(\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\)
  • \(\frac{28}{AB} = \frac{36}{27} = \frac{A_1C_1}{9}\)
  • \(\frac{36}{27} = \frac{4}{3}\)
  • \(\frac{28}{AB} = \frac{4}{3}\)
  • \(4AB = 28 \times 3\)
  • \(AB = \frac{28 \times 3}{4} = 21\) см
  • \(\frac{4}{3} = \frac{A_1C_1}{9}\)
  • \(3A_1C_1 = 4 \times 9\)
  • \(A_1C_1 = \frac{4 \times 9}{3} = 12\) см

Ответ: AB = 21 см, A₁C₁ = 12 см

3. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, AB = 48 см, BC = 32 см, AD = 36 см. Найдите отрезок CD.

Логика такая:

  • По свойству биссектрисы треугольника, \(\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}\).
  • \(\frac{36}{CD} = \frac{48}{32}\)
  • \(\frac{36}{CD} = \frac{3}{2}\)
  • \(3CD = 36 \times 2\)
  • \(CD = \frac{36 \times 2}{3} = 24\) см

Ответ: CD = 24 см

4. На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP: PC = 5: 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.

Логика такая:

  • Треугольники BPN и BAC подобны, так как PN || AC.
  • \(\frac{PN}{AC} = \frac{BP}{BC}\)
  • \(BC = BP + PC = 5 + 6 = 11\) частей.
  • \(\frac{15}{AC} = \frac{5}{11}\)
  • \(5AC = 15 \times 11\)
  • \(AC = \frac{15 \times 11}{5} = 33\) см

Ответ: AC = 33 см

5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О, АО = 24 см, ОС = 16 см, а отрезок OD на 9 см больше отрезка ВО. Найдите диагональ BD трапеции.

Логика такая:

  • Треугольники BOC и AOD подобны.
  • \(\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{AO}\)
  • Пусть BO = x, тогда OD = x + 9.
  • \(\frac{x}{x+9} = \frac{16}{24}\)
  • \(\frac{x}{x+9} = \frac{2}{3}\)
  • \(3x = 2(x+9)\)
  • \(3x = 2x + 18\)
  • \(x = 18\) см (BO)
  • \(OD = 18 + 9 = 27\) см
  • \(BD = BO + OD = 18 + 27 = 45\) см

Ответ: BD = 45 см

6. Через точку D, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой D на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите расстояние от точки D до центра окружности, если радиус окружности равен 4 см.

Логика такая:

  • По свойству хорд, произведения отрезков хорд, пересекающихся в точке D, равны.
  • Пусть хорда делится на отрезки a и b, то есть a = 3, b = 4.
  • Тогда произведение отрезков хорды равно \(3 \times 4 = 12\).
  • Введем переменную d как расстояние от точки D до центра окружности.
  • Вторая хорда — это диаметр, проходящий через точку D. Обозначим отрезки этой хорды как \(4 - d\) и \(4 + d\) (где 4 — радиус окружности).
  • Произведение отрезков этой хорды равно \((4 - d)(4 + d) = 16 - d^2\).
  • Согласно свойству хорд, \(16 - d^2 = 12\).
  • \(d^2 = 16 - 12\)
  • \(d^2 = 4\)
  • \(d = \sqrt{4} = 2\) см

Ответ: d = 2 см

Ответ: 1. TS = 8 см; 2. AB = 21 см, A₁C₁ = 12 см; 3. CD = 24 см; 4. AC = 33 см; 5. BD = 45 см; 6. d = 2 см

Математический маг вещает! Уровень интеллекта: +50
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена
ГДЗ по фото 📸