Контрольные задания > 1. На рисунке 66 точка O – центр окружности, \(\angle OAD = 34^\circ\). Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и \(\angle NOM = 30^\circ\). 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что \(\angle OAK = \angle OBK\) (рис. 67). Докажите, что AK = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Вопрос:

1. На рисунке 66 точка O – центр окружности, \(\angle OAD = 34^\circ\). Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и \(\angle NOM = 30^\circ\). 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что \(\angle OAK = \angle OBK\) (рис. 67). Докажите, что AK = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 1

Смотри, тут всё просто: центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Краткое пояснение: Угол FOA – центральный, угол OAD – вписанный. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Пошаговое решение:

  • Рассмотрим треугольник OAD. Он равнобедренный, так как OA = OD (радиусы). Значит, углы при основании равны: \(\angle OAD = \angle ODA = 34^\circ\).
  • Найдем угол AOD: \(\angle AOD = 180^\circ - \angle OAD - \angle ODA = 180^\circ - 34^\circ - 34^\circ = 112^\circ\).
  • Угол AOD и угол FOD смежные, значит, \(\angle FOD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\).
  • Итак, угол FOA равен 68°.

Ответ: \(\angle FOA = 68^\circ\)

Задание 2

Разбираемся: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Получается прямоугольный треугольник.

Краткое пояснение: Используем определение касательной к окружности и свойства прямоугольного треугольника.

Пошаговое решение:

  • В прямоугольном треугольнике NOM (OM – радиус, MN – касательная) катет MN лежит против угла 30°. Значит, он равен половине гипотенузы ON.
  • \(MN = \frac{1}{2} \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.

Ответ: MN = 6 см

Задание 3

Логика такая: если равны углы, опирающиеся на хорды, то и хорды равны.

Краткое пояснение: Используем свойство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду.

Пошаговое решение:

  • Углы OAK и OBK опираются на хорды AK и BK соответственно.
  • Так как \(\angle OAK = \angle OBK\), то AK = BK.

Что и требовалось доказать.

Задание 4

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение с помощью циркуля и линейки.

Краткое пояснение: Используем свойства равнобедренного треугольника и построения циркулем и линейкой.

Пошаговое решение:

  • Строим основание.
  • Проводим серединный перпендикуляр к основанию.
  • Отмеряем медиану на серединном перпендикуляре.
  • Соединяем конец медианы с концами основания.

Задание 5

Смотри, тут несколько вариантов: либо касание, либо пересечение.

Краткое пояснение: Решения зависят от расположения угла и окружности.

Пошаговое решение:

  • Если угол и окружность не пересекаются, решений нет.
  • Если окружность касается сторон угла, решение одно.
  • Если окружность пересекает стороны угла, решения может быть два.
ГДЗ по фото 📸