66 На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) Z2 + Z4 = 220°; 6) 3 (∠1 + 3) = Z2 + Z4; B) 2-1 = 30°. Рис. 47

На рисунке 41 изображены две пересекающиеся прямые, образующие углы 1, 2, 3, 4. Углы 1 и 3, 2 и 4 - вертикальные, углы 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 - смежные. Вертикальные углы равны. Сумма смежных углов равна 180°.

1. а) Дано: $$∠2 + ∠4 = 220^{\circ}$$. Так как $$∠2 = ∠4$$, то $$2⋅∠2 = 220^{\circ}$$, значит, $$∠2 = ∠4 = 110^{\circ}$$. $$∠1 = ∠3 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$$.

2. б) Дано: $$3⋅(∠1+∠3) = ∠2 + ∠4$$. Так как $$∠1 = ∠3$$ и $$∠2 = ∠4$$, то $$3⋅(2⋅∠1) = 2⋅∠2$$, значит, $$6⋅∠1 = 2⋅∠2$$, откуда $$3⋅∠1 = ∠2$$. $$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$$, $$∠1 + 3⋅∠1 = 180^{\circ}$$, $$4⋅∠1 = 180^{\circ}$$, $$∠1 = 45^{\circ}$$. Следовательно, $$∠3 = 45^{\circ}$$, $$∠2 = ∠4 = 135^{\circ}$$.

3. в) Дано: $$∠2 - ∠1 = 30^{\circ}$$. $$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$$. Сложим эти два уравнения: $$∠2 - ∠1 + ∠1 + ∠2 = 30^{\circ} + 180^{\circ}$$, $$2⋅∠2 = 210^{\circ}$$, $$∠2 = 105^{\circ}$$. Тогда $$∠4 = 105^{\circ}$$, $$∠1 = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$$, $$∠3 = 75^{\circ}$$.

Ответ: а) ∠1 = ∠3 = 70°, ∠2 = ∠4 = 110°; б) ∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°; в) ∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4 = 105°.