95. На рисунке 45 АВ = BC, A₁B₁ = = B₁C₁, ∠BAC = ∠B₁А₁С₁. Дока- жите, что прямые ВС и В,С, па- раллельны.

Для рисунка 45:

Дано: AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁, ∠BAC = ∠B₁A₁C₁

Доказать: BC || B₁C₁

Доказательство:

• Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠BAC = ∠BCA.
• Аналогично, в треугольнике A₁B₁C₁ так как A₁B₁ = B₁C₁, то треугольник A₁B₁C₁ – равнобедренный, и ∠B₁A₁C₁ = ∠B₁C₁A₁.
• Так как ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (дано), то ∠BCA = ∠B₁C₁A₁.
• Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁, ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, ∠BCA = ∠B₁C₁A₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.
• Из равенства треугольников следует равенство углов, то есть ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.
• Углы ABC и A₁B₁C₁ – соответственные углы при прямых BC, B₁C₁ и секущей AA₁. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Следовательно, BC || B₁C₁.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые BC и B₁C₁ параллельны.