На рисунке 155 AB = BC = CD = DA. 1) Докажите, что AB || CD, AD || BC. 2) Докажите, что ВТ = DT. 3) Докажите, что AC > DB, если ∠ TBC = 90° и ТС > AT. 4) Докажите, что точка Т равноудалена от прямых АВ и AD.

1) Доказательство, что AB || CD, AD || BC.

По условию, AB = BC = CD = DA. Это означает, что ABCD — ромб. У ромба противоположные стороны параллельны, следовательно, AB || CD и AD || BC.

2) Доказательство, что BT = DT.

Так как ABCD — ромб, то AC и BD — его диагонали. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Значит, точка T — середина диагонали BD, следовательно, BT = DT.

3) Доказательство, что AC > DB, если ∠ TBC = 90° и ТС > AT.

Если ∠ TBC = 90°, то треугольник TBC — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов. Значит, TC > BT. По условию TC > AT, следовательно, TC > 1/2 * AC и BT = DT = 1/2 * DB. Так как TC > AT, то AC > DB.

4) Доказательство, что точка Т равноудалена от прямых АВ и AD.

Так как ABCD — ромб, то его диагонали являются биссектрисами углов. Следовательно, AT — биссектриса угла BAD. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. Значит, точка T равноудалена от прямых AB и AD.