Контрольные задания > 1. На рисунке ∠ABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ, причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоуголь- ного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите сторо- ны этого треугольника.
Вопрос:

1. На рисунке ∠ABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ, причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоуголь- ного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите сторо- ны этого треугольника.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Разберём задачи с картинки.

Задача 1

Краткое пояснение: Нужно найти сторону AB треугольника ABC, зная углы ABE и DCF и сторону AC.

Смотри, тут всё просто: углы ABE и DCF являются внешними углами треугольника ABC. Зная их, мы можем найти внутренние углы треугольника ABC.

  1. Найдем угол ABC:

    \[\angle ABC = 180° - \angle ABE = 180° - 104° = 76°\]

  2. Найдем угол ACB:

    \[\angle ACB = 180° - \angle DCF = 180° - 76° = 104°\]

  3. Найдем угол BAC:

    \[\angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB = 180° - 76° - 104° = 0°\]

    Угол получился равным 0, что невозможно для треугольника. В условии задачи ошибка, так как сумма углов треугольника не может быть больше 180 градусов.

    Предположим, что ∠DCF = 116°, тогда:

    ∠ACB = 180° - ∠DCF = 180° - 116° = 64°

    ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 76° - 64° = 40°

  4. Теперь можно воспользоваться теоремой синусов, чтобы найти сторону AB:

    \[\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}\]

    Подставляем известные значения:

    \[\frac{AB}{\sin(64°)} = \frac{12}{\sin(76°)}\]

  5. Выразим AB:

    \[AB = \frac{12 \cdot \sin(64°)}{\sin(76°)}\]

  6. Приближенно вычислим значение AB:

    \[AB ≈ \frac{12 \cdot 0.8988}{0.9703} ≈ \frac{10.7856}{0.9703} ≈ 11.116\]

Ответ: AB ≈ 11.12 см (если ∠DCF = 116°)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что используешь теорему синусов правильно и подставляешь значения углов в радианах или градусах в соответствии с настройками калькулятора.
Редфлаг: Всегда проверяй, чтобы сумма углов в треугольнике была равна 180 градусам, иначе решение не имеет смысла!

Задача 2

Краткое пояснение: Нужно доказать, что DE > DK, зная, что угол CKD острый.

Разбираемся:

  1. Угол CKD острый, значит, он меньше 90°.

    \[\angle CKD < 90°\]

  2. Угол DKE является смежным с углом CKD, следовательно:

    \[\angle DKE = 180° - \angle CKD\]

  3. Так как угол CKD острый, то угол DKE тупой, то есть больше 90°.

    \[\angle DKE > 90°\]

  4. Рассмотрим треугольник DKE. В этом треугольнике угол DKE тупой, а значит, он является наибольшим углом в этом треугольнике.

  5. Напротив большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона DE лежит напротив угла DKE и является наибольшей стороной в треугольнике DKE.

    \[DE > DK\]

Ответ: DE > DK, так как DE лежит напротив тупого угла DKE в треугольнике DKE.

Проверка за 10 секунд: В тупоугольном треугольнике большая сторона лежит напротив тупого угла.
Запомни: В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот. Это ключевой момент для решения задач на сравнение сторон и углов.

Задача 3

Краткое пояснение: Нужно найти стороны равнобедренного тупоугольного треугольника, зная его периметр и разницу между сторонами.

Логика такая:

В равнобедренном тупоугольном треугольнике боковые стороны равны, а основание меньше боковой стороны.

  1. Пусть x - боковая сторона, тогда x + 9 - основание.

  2. Периметр равен 45 см, значит:

    \[x + x + (x + 9) = 45\]

  3. Решаем уравнение:

    \[3x + 9 = 45\] \[3x = 36\] \[x = 12\]

  4. Боковая сторона равна 12 см, тогда основание:

    \[12 + 9 = 21\]

  5. Проверим, является ли треугольник тупоугольным. Для этого нужно проверить выполнение неравенства:

    \[a^2 + b^2 < c^2\]

    где a и b - боковые стороны, c - основание.

    \[12^2 + 12^2 < 21^2\] \[144 + 144 < 441\] \[288 < 441\]

    Неравенство выполняется, значит, треугольник тупоугольный.

Ответ: Боковые стороны равны 12 см, основание равно 21 см.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма двух меньших сторон больше большей стороны (правило треугольника) и что выполняется неравенство для тупоугольного треугольника.
Читерский прием: Помни, что в тупоугольном треугольнике квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. Это поможет быстро проверить правильность ответа.

Молодец, ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

ГДЗ по фото 📸