На рис. 125 точка О - центр вписанной окружности, OM = 2 см, BN = 10 см. Найдите S ABC.

Решение:

В данном треугольнике ABC точка O является центром вписанной окружности. Радиус вписанной окружности \( r = OM = 2 \) см.

В условии задачи указано, что \( BN = 10 \) см. Так как BN является отрезком касательной, проведенной из вершины B к вписанной окружности, то \( BM = BN = 10 \) см.

Площадь треугольника \( S_{ABC} \) можно найти по формуле: \( S = p · r \), где \( p \) — полупериметр треугольника, а \( r \) — радиус вписанной окружности.

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( ∠ C = 90^\circ \), отрезок CM является касательной из точки C. Также отрезок CL является касательной из точки C. Из чертежа видно, что CMKL — квадрат, так как OM — радиус, перпендикулярный касательной MC, и CL — касательная, перпендикулярная AC. Аналогично, ML перпендикулярно BC. Поскольку OM = 2, то MC = 2 и CL = 2.

Тогда \( BC = BM + MC = 10 + 2 = 12 \) см.

Пусть \( AN = AL = x \). Тогда \( AC = AL + LC = x + 2 \).

По теореме Пифагора для треугольника ABC: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Сторона AB = AN + NB = x + 10.

Следовательно, \( (x+10)^2 = (x+2)^2 + 12^2 \).

\[ x^2 + 20x + 100 = x^2 + 4x + 4 + 144 \]

\[ 20x + 100 = 4x + 148 \]

\[ 16x = 48 \]

\[ x = 3 \]

Таким образом, \( AN = 3 \) см.

Теперь можем найти стороны треугольника:

• \( AC = AL + LC = 3 + 2 = 5 \) см.
• \( BC = BM + MC = 10 + 2 = 12 \) см.
• \( AB = AN + NB = 3 + 10 = 13 \) см.

Полупериметр \( p = \frac{AC + BC + AB}{2} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.

Площадь треугольника \( S_{ABC} = p · r = 15 · 2 = 30 \) см².

Также площадь прямоугольного треугольника можно найти как \( S_{ABC} = ½ · AC · BC = ½ · 5 · 12 = 30 \) см².

Ответ: 30 см².