На продолжении хорды AB (см. рис. 21) за точку B взята точка C так, что BC = AB. Через точки A, D и B проведена окружность. Касательная к этой окружности, проведённая из точки C, касается окружности в точке D. Найдите угол ACD.

Решение:

Пусть \( \angle ACD = \alpha \).

Поскольку CD — касательная к окружности, то угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними. Следовательно, \( \angle CDA = \angle CAD \). Это означает, что треугольник ACD равнобедренный.

Так как \( \angle ACD = \alpha \), то \( \angle CAD = \angle CDA = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

Угол ABC — внешний угол треугольника BCD. Угол BCD равен \( \angle ACD = \alpha \). Угол CDB равен \( \angle CDA = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

Угол BDC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BDC \).

По условию, \( BC = AB \), поэтому треугольник ABC равнобедренный. Угол \( \angle ACB = \angle BAC \).

Сумма углов треугольника ABC равна 180°.

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle BAC = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} \).

Угол CDB — вписанный, опирается на дугу CB. Значит \( \angle CDB = \frac{1}{2} \cup CB \). Угол CAD — вписанный, опирается на дугу CD. Значит \( \angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD \). Угол ACD = \( \alpha \).

В треугольнике BCD, \( \angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC \).

Угол между касательной CD и хордой AD равен вписанному углу ABD, опирающемуся на дугу AD. \( \angle CDA = \angle ABD \).

\( \angle ABD = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

Рассмотрим треугольник BCD. \( \angle BCD = \alpha \).

Угол CBD — внешний угол треугольника ABC. \( \angle CBD = \angle BAC + \angle ACB \).

Треугольник ACD равнобедренный, \( \angle CAD = \angle CDA = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

Треугольник ABC — равнобедренный, \( AB = BC \). Значит \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \).

Угол ABC = \( 180^{\circ} - 2\alpha \).

Рассмотрим вписанный угол ABD. Он опирается на дугу AD. Угол ACD — касательный угол, опирающийся на дугу AD. \( \angle ABD = \angle ACD = \alpha \). (Это неверно. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду). \( \angle CDA = \angle ABD \).

В равнобедренном треугольнике ACD, \( \angle CAD = \angle CDA = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

В равнобедренном треугольнике ABC, \( AB = BC \). \( \angle BAC = \angle BCA \).

Угол ADB — вписанный, опирается на дугу AB. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB. \( \angle ADB = \angle ACB \).

Угол BDC — вписанный, опирается на дугу BC. Угол BAC — вписанный, опирается на дугу BC. \( \angle BDC = \angle BAC \).

Следовательно, \( \angle ADB = \angle BDC \). То есть, CD является биссектрисой угла ADB.

В треугольнике ACD: \( \angle CAD = \angle CDA \). \( \angle CAD = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

В треугольнике BCD: \( \angle BCD = \alpha \). \( \angle CBD = 180^{\circ} - (\angle ABC) \).

Угол \( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) \).

Так как \( BC = AB \), то \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Угол \( \angle CBD = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha \).

В треугольнике BCD: \( \angle BDC + \angle BCD + \angle CBD = 180^{\circ} \).

\( \angle BDC + \alpha + 2\alpha = 180^{\circ} \).

\( \angle BDC = 180^{\circ} - 3\alpha \).

Но \( \angle BDC = \angle BAC = \alpha \).

Значит, \( \alpha = 180^{\circ} - 3\alpha \).

\( 4\alpha = 180^{\circ} \).

\( \alpha = 45^{\circ} \).

Проверим: \( \angle ACD = 45^{\circ} \). \( \angle BAC = \angle BCA = 45^{\circ} \). \( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle CAD = \angle CDA = (180^{\circ} - 45^{\circ}) / 2 = 135^{\circ} / 2 = 67.5^{\circ} \).

\( \angle BDC = \angle BAC = 45^{\circ} \).

\( \angle CDB = 180^{\circ} - 3\alpha = 180^{\circ} - 3 \times 45^{\circ} = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \). Это совпадает.

Следовательно, \( \angle ACD = 45^{\circ} \).

Ответ: 45°.